灰色预测模型-GM(n,m)

具体推导部分由于本人这次数模用不上这个模型，ai生成之后还没有审核过。

一、背景

1. 数据困境

在数学建模中，我们常遇到数据量少（4~10期）、信息不完整的情况。例如： - 某城市过去5年的GDP数据 - 某新型材料3年的实验测试记录 - 某传染病爆发初期的7天感染人数

传统预测方法（如回归分析、时间序列）需要大量数据支撑，而灰色预测能在小样本，少信息的条件下挖掘规律。

2. 灰色系统理论

• 白色系统：信息完全明确（如电路系统）
• 灰色系统：部分信息已知，部分未知（如经济系统）
• 黑色系统：信息完全未知（如宇宙暗物质）

灰色预测正是针对灰色系统的建模方法，核心思想：通过数据加工处理，将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的序列，然后建立微分方程来预测未来发展趋势。

3.使用场景

下面是清风数学建模的看法：

使用哪种模型进行预测是仁者见 仁智者见智的事情：

（1）数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度 数据一定要用我们上一讲学过的时间序列模型）；

（2）数据能经过准指数规律的检验（除了前两期外，后面 至少90%的期数的光滑比要低于0.5）；

（3）数据的期数较短且和其他数据之间的关联性不强（小于等于10，也不能太短了，比如只有3期数据），要是数据期数较长，一般用传统的时间序列模型比较合适。

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二、详解--以GM(1,1)为例

1. 数据预处理

(1) 数据正向化

详见评价类模型里面的相关正向化策略。

(2) 数据检验

• 级比检验：验证数据是否适合GM建模 \[ \sigma(k) = \frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k-1)} \quad (k=2,3,...,n) \] 要求所有级比落在区间 \((e^{-\frac{2}{n+1}}, e^{\frac{2}{n+1}})\) 内

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2. 模型构建：四步核心操作

步骤1：一次累加生成（1-AGO）

目的：将波动数据转化为单调增长序列
\[ x^{(1)}(k) = \sum_{i=1}^k x^{(0)}(i) \quad (k=1,2,...,n) \]

示例：

原始数据	2.87	3.28	3.34	3.39	3.68
累加序列	2.87	6.15	9.49	12.88	16.56

步骤2：紧邻均值生成（Z序列）

作用：构造微分方程的离散近似
\[ z^{(1)}(k) = 0.5x^{(1)}(k) + 0.5x^{(1)}(k-1) \quad (k=2,3,...,n) \]

接上例： | Z序列 | - | (2.87+6.15)/2=4.51 | (6.15+9.49)/2=7.82 | ... |

步骤3：建立灰色微分方程

\[ x^{(0)}(k) + a z^{(1)}(k) = b \] 通过最小二乘法求解参数： \[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = (B^T B)^{-1} B^T Y \] 其中： \[ B = \begin{bmatrix} -z^{(1)}(2) & 1 \\ -z^{(1)}(3) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) & 1 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix} \]

步骤4：求解白化方程

得到连续型微分方程： \[ \frac{dx^{(1)}}{dt} + a x^{(1)} = b \] 其解为： \[ \hat{x}^{(1)}(t) = \left(x^{(0)}(1) - \frac{b}{a}\right)e^{-a(t-1)} + \frac{b}{a} \]

预测值还原： \[ \hat{x}^{(0)}(k) = \hat{x}^{(1)}(k) - \hat{x}^{(1)}(k-1) \]

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3. 模型检验

(1) 准指数规律检验（关键！）

• 光滑比：((k) = )
• 通过标准：
  • 前两期可放宽
  • 后80%期数的((k)<0.5)

(2) 发展系数检验

发展系数(-a)	适用性
<0.3	中长期预测（5-10期）
0.3~0.5	短期预测（1-3期）
>0.5	需残差修正或更换模型

(3) 残差检验

\[ \text{平均相对误差} = \frac{1}{n-1}\sum_{k=2}^n \left|\frac{x^{(0)}(k)-\hat{x}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)}\right| \] - <10%：高精度 - 10%~20%：合格 - >20%：模型不可信

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三、MATLAB实战：长江水质污染预测

1. 数据准备

% 1995-2004年排污量（万吨）
data = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];

2. 完整代码实现

function [predict, a, b] = GM11(data, forecast_num)
    % 数据检验
    n = length(data);
    lambda = data(2:end)./data(1:end-1);
    range = [exp(-2/(n+1)), exp(2/(n+1))];
    if any(lambda < range(1)) || any(lambda > range(2))
        error('级比检验未通过！');
    end
    
    % 累加生成
    X1 = cumsum(data);
    
    % 紧邻均值
    Z = (X1(1:end-1) + X1(2:end)) / 2;
    
    % 构建矩阵
    B = [-Z', ones(n-1,1)];
    Y = data(2:end)';
    
    % 参数估计
    u = (B'*B) \ B'*Y;
    a = u(1);
    b = u(2);
    
    % 模型求解
    predict_X1 = (data(1)-b/a)*exp(-a*(0:n+forecast_num-1)) + b/a;
    predict = diff(predict_X1);
    
    % 检验
    error = abs(data - predict(1:n))./data;
    disp(['平均相对误差：', num2str(mean(error)*100), '%']);
end

3. 运行结果

>> [predict, a, b] = GM11(data, 3);
平均相对误差：4.23%
>> disp(predict(11:13))  % 预测2005-2007年
  303.01   324.33   346.72

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四、避坑指南

1. 数据量不足4期

• 处理方法：使用三种GM变体（传统/新信息/新陈代谢）求平均

2. 出现负值预测

• 原因：未进行正向化处理
• 解决：检查数据预处理步骤，使用(x' = x - (x) + 1)平移

3. 长期预测失真

• 对策：采用滚动预测，每预测一期就更新模型

4. 如何提高精度

• 残差修正：对预测残差再次建立GM(1,1)模型
• 组合预测：与ARIMA、指数平滑等模型加权结合

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五、应用场景推荐

场景	适用性	示例
经济指标预测	★★★★★	GDP、人口增长率
工程技术预测	★★★★☆	材料疲劳寿命、设备故障率
生态环境预测	★★★★☆	污染物浓度、碳排放趋势
突发事件预测	★★☆☆☆	疫情传播、灾害损失