第三章 随机过程-谱分析
好疲惫喵 QAQ 不想写了喵 QAQ
1 随机过程的谱分析
让我们像以往一样，在分析随机信号之前，先从确定信号说起，来建立起初步的感知。
1.1 确定信号的频谱回顾
（1）能量信号（Energy Signal）
较为简单的一个东西，比如一个duang的声音，播放完就没有了，能量有限可以直接算出。
信号在时间上可以很乱，但我们往往关心它“在哪些频率上有能量”。
于是，从时域走向频域，第一步是能量的定义：
\[ E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \, dt \]
若 \(E<\infty\)，称为能量信号（如有限时间非周期信号）。
其傅里叶变换为： \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt \]
他的模平方就是能量在频率上的分布，称为能量谱密度：
\[ |X(\omega)|^2 \]
Parseval 定理：
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(\omega)|^2 d\omega \]
能量谱密度反映了信号能量在频域中的分布。
从直觉上来看，就是这个时域的平方积分和频域的平方积分之间的转换，我们可以在不同的维度下求出能量。
（2）功率信号（Power Signal）
\(X(t)\) 通常不会结束，能量无穷大。
于是我们换一个视角，只看单位时间的平均能量（即功率）：
\[ P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \]
功率有限的周期信号为功率信号。于是我们关心的变成了功率在频率上的分布，也就是功率谱密度（PSD）。
功率谱密度（PSD）定义为：
\[ S_x(\omega) = \lim_{T\to\infty} \frac{E[|X_T(\omega)|^2]}{2T} \]
其中 \(X_T(\omega)\) 为时间窗 \([-T, T]\) 内的傅里叶变换。
所以这个PSD就是频率维度上的平均功率分布。
1.2 随机信号的平均功率谱密度
随机信号 \(X(t)\) 的功率谱密度：
他的含义就是信号在某个频域附近的平均功率是多少。
\[ S_X(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{E[|X_T(\omega)|^2]}{2T} \]
特点：
[!WARNING] 未经证实的特点，需要下一步勘误
样本信号一般为功率信号；
各样本信号的谱密度不同；
\(S_X(\omega)\) 是随机函数，一般取数学期望；
随机信号功率 \(P_X = E[|X(t)|^2]\) 是随机变量，通常只关心其均值。
1.3 功率谱密度与复频率面
功率谱密度 \(S_X(\omega)\) 在复频率面 \(s=j\omega\) 上定义： \[ S_X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)e^{-s\tau} d\tau \] 若 \(S_X(\omega)\) 是有理谱，则可表示为： \[ S_X(s) = K \frac{\prod (s - \alpha_i)(s + \alpha_i)}{\prod (s - \beta_i)(s + \beta_i)} \] 实信号满足： \[ S_X(s) = S_X^*(-s) \]
这个的具体求解要回去翻信号与系统，学一下拉普拉斯变换。
2 随机过程功率谱密度的性质
实偶性： \[ S_X(-\omega) = S_X(\omega) \]
非负性： \[ S_X(\omega) \ge 0 \]
Parseval 关系： \[ R_X(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)d\omega \]
积分有限性： 对平稳过程，\(\int S_X(\omega)d\omega\) 收敛。
有理谱分解： 若谱为有理函数，则其极点在左半平面，零点在虚轴或左半平面上。
3 功率谱密度与自相关函数的关系
维纳–辛钦定理（Wiener–Khinchin Theorem）
若随机过程 \(X(t)\) 是宽平稳的（WSS），则： \[ S_X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau \] \[ R_X(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)e^{j\omega\tau} d\omega \]
平均功率： \[ E[X^2(t)] = R_X(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)d\omega \]
信号越“平滑”，\(R_X(\tau)\)
衰减越慢，对应低频占主导；
信号变化越快，\(R_X(\tau)\)
快速衰减，对应高频成分强。
4 离散时间随机过程的功率谱密度
如果这个 \(X(n)\) 是 \(X(t)\) 经过采样间隔 \(T\) 均匀采样之后得到的广义平稳随机序列：
若 \(X(n)\) 为平稳离散随机序列：
\[ R_X(m) = E[X(n)X(n+m)] = R_X(mT) \]
则其功率谱密度为：
\[ S_X(\Omega) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} R_X(m)e^{-j\Omega m} \]
其逆变换：
\[ R_X(m) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} S_X(\Omega)e^{j\Omega m} d\Omega \]
平均功率：
\[ E[|X(n)|^2] = R_X(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} S_X(\Omega)d\Omega \]
采样间隔为 \(T\) 时：
\[ S_X(\omega) =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S_c(\omega - k\omega_s) \]
这就是功率谱密度的采样定理。
其中 \(\omega_s = \frac{2\pi}{T}\)
[!NOTE] 采样定理讲的不细，这个还不是很理解，因为信号与系统没学好这个都没咋认真听。包括什么谱分解定理，更是不会。
5 联合平稳随机过程的互谱密度
我说实在的，我已经看不懂她PPT上在推导什么了，下面的这些笔记全都是AI代劳的。
若 \(X(t)\) 与 \(Y(t)\) 为联合平稳过程，则定义互功率谱密度： \[ S_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_{XY}(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau \]
性质： 1. \(S_{XY}^*(\omega) = S_{YX}(\omega)\)； 2. 对实过程有 \(S_{XY}(-\omega) = S_{YX}^*(\omega)\)； 3. 若 \(X,Y\) 不相关，则 \(S_{XY}(\omega)=0\)。
6 白噪声（White Noise）
（1）定义
若功率谱密度为常数： \[ S_N(\omega) = \frac{N_0}{2} \] 则称该噪声为白噪声。
自相关函数： \[ R_N(\tau) = \frac{N_0}{2}\delta(\tau) \]
（2）理想白噪声
特征： - 均值为零； - \(S_N(\omega)\) 为常数； - 平均功率无穷大； - 实际中不存在，只能近似。
（3）限带白噪声与色噪声
若 \(S_N(\omega)\) 在有限带宽 \([-W, W]\) 内为常数： \[ S_N(\omega) = N_0/2, \quad |\omega| \le W \] 称为限带白噪声；
若谱密度随频率变化，则为色噪声（Colored Noise）。
（4）信噪比（SNR）
定义： \[ \mathrm{SNR} = \frac{P_s}{P_n}, \quad \text{(dB)} = 10\log_{10}\frac{P_s}{P_n} \]
例： 已知 \(s(t)=4\cos(\omega_0 t)\)，\(n(t)\) 为带宽 \(2\) kHz、功率谱密度 \(S_N(\omega)=2\) 的低通白噪声：
\[ P_s = \frac{A^2}{2} = 8, \quad P_n = 2W/\pi = 8000 \] \[ \mathrm{SNR} = 10\log_{10}\frac{8}{8000} \approx -30 \text{ dB} \]