拟合算法

与插值算法不同，拟合算法不要求曲线严格经过所有数据点，而是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有数据点的总体误差最小。拟合的核心目标是通过对已有数据特征拟合构建最佳数学模型，广泛应用于趋势预测、参数估计等领域。

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一、与插值的区别

方法	特点	适用场景
插值	曲线必须经过所有样本点，易受龙格现象影响	数据精确、样本量少
拟合	曲线无需经过所有点，通过最小化误差平方和寻找全局最优解	数据含噪声、趋势分析

当样本点过多时，高阶插值多项式会出现震荡现象，而拟合算法通过低阶函数（如线性、指数函数）能更稳定地反映数据趋势。

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二、原理

1. 数学模型

设样本点为 $(x_i, y_i), i = 1, 2, \ldots, n$，拟合曲线为 $y = kx + b$，目标是最小化误差平方和：
$$
\min_{k,b} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 \quad \text{其中} \quad \hat{y}_i = kx_i + b
$$

2. 参数求解

通过求偏导并令导数为零，可得闭合解：
$$
k = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \quad
b = \frac{\sum x_i^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
$$

3. 拓展

多项式线性，如二次函数等：
$$
\quad \hat{y}_i = kx_i + kx_i^2 + b
$$

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三、拟合优度评价

1. 判定系数 $R^2$

• 总体平方和（SST）：反映数据总波动
  $$ SST = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y})^2 $$
• 误差平方和（SSE）：反映拟合误差
  $$ SSE = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 $$
• 回归平方和（SSR）：反映模型解释的波动
  $$ SSR = \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \overline{y})^2 $$

拟合优度：
$$ R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} $$

• $ R^2 \in [0, 1] $，越接近1说明拟合效果越好。
• 注意：$ R^2 $ 仅适用于线性参数模型（如 $ y = a + bx^2 $ 视为线性，因其对参数 (a,b) 为线性）。

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四、MATLAB实现

1. 代码示例

% 导入数据
load data1
plot(x, y, 'o')
xlabel('x'); ylabel('y');

% 计算参数
n = length(x);
k = (n*sum(x.*y) - sum(x)*sum(y)) / (n*sum(x.^2) - sum(x)^2);
b = (sum(x.^2)*sum(y) - sum(x)*sum(x.*y)) / (n*sum(x.^2) - sum(x)^2);

% 绘制拟合曲线
hold on
fplot(@(x) k*x + b, [min(x), max(x)])
legend('样本数据', '拟合曲线')

2. 拟合工具箱（cftool）

输入 cftool 调用MATLAB拟合工具箱，支持多种函数类型（多项式、指数、自定义方程），自动计算参数及拟合优度。

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五、应用

案例1：美国人口预测

使用Logistic模型拟合历史数据：
$$
x(t) = \frac{x_m}{1 + \left( \frac{x_m}{3.9} - 1 \right) e^{-r(t-1790)}}
$$
通过非线性最小二乘法估计参数 $x_m$ 和 $r$，预测未来30年人口趋势。

案例2：鱼类生长模型

对鲨鱼体长-体重数据采用指数和正弦函数拟合，通过SSE选择最优模型：
$$
\text{体长增长方程：} \quad y = 69.32e^{-0.004x} \quad (R^2 = 0.9704)
$$

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六、总结

1. 适用场景：数据含噪声、需提取整体趋势、变量间关系复杂时优先选用拟合。
2. 模型选择：优先线性参数模型以利用 $R^2$ 评价，非线性模型直接比较SSE。
3. 工具推荐：MATLAB cftool可快速实现多函数拟合与可视化。