第五章 模拟调制系统
调制(Modulation)的定义与目的
把消息信号 $m(t)$ 寄托在载波（$\cos(\omega_c t)$）的某个参数上，形成已调信号。
目的
提高天线辐射效率：就是实现频谱的搬移。低频信号波长长，需要巨大天线；高频信号波长短，天线尺寸合理。
实现频谱资源共享：不同信号占据不同频段（频分复用FDM），实现多路通信。
提高系统抗干扰能力：非线性调制（如FM）可改善信噪比。
载波信号
本书中主要讲正弦波调制，脉冲调制暂时先不讲，后面可能有。
载波信号通常表示为：
$$
c(t) = A_c \cos(\omega_c t + \phi_c)
$$
其中 $A_c$ 为载波振幅，$\omega_c$ 为载波角频率，$\phi_c$ 为载波初始相位。调制即让 $A_c$、$\omega_c$ 或 $\phi_c$ 随基带信号 $m(t)$ 变化。
模拟调制分类
幅度调制 (Amplitude Modulation, AM)：载波振幅随 变化。即线性调制。
- DSB（双边带）
- AM（普通调幅）
- SSB（单边带）
- VSB（残留边带）
角度调制 (Angle Modulation, PM/FM)：载波相位或频率随 $m(t)$ 变化。
- FM（频率调制）
- PM（相位调制）
线性调制系统（幅度调制）
线性调制是将基带信号 $m(t)$ 线性地作用于载波振幅。调制信号的时域表示为：
$$
s_{AM}(t) = A(t) \cos(\omega_c t)
$$
幅度调制器的一般模型为：
其分类就是根据这个 $m(t)$ $h(t)$ 不同来分的。
普通调幅 (AM)
时域表达式
AM 信号在 DSB 基础上增加了载波分量：
$$
s_{AM}(t) = [A_0 + m(t)] \cos(\omega_c t)
$$
其中 $A_0$ 为直流偏置，必须满足 $A_0 > |m(t)|_{max}$，以保证 $[A_0 + m(t)] > 0$（不发生过调幅）。
调制指数 ($\mu$)
$$
\mu = \frac{|m(t)|_{max}}{A_0} \le 1
$$
大于一为过调制，会导致失真、信息丢失。
功率和效率
AM 信号的总功率 $P_{AM} = P_c + P_{SB}$。边带功率 $P_{SB}$ 承载信息，而载波功率 $P_c$ 不承载信息。
- 效率：$\eta = \frac{P_{SB}}{P_c + P_{SB}}$，AM 的效率通常很低，毕竟要满足调制系数不能大于1，他的载波功率是要比边带功率大的。
解调方法
可直接非相干解调 (Non-coherent Demodulation)，使用包络检波器 (Envelope Detector)，就一个二极管一个电容的事儿，电路简单，无需同步载波。
相干解调也可以，相对复杂，但是载波给了，还比较容易相干解调，记得解调完还需要去掉直流
双边带抑制载波 (DSB-SC)
时域表达式
无载波分量
$$
s_{DSB}(t) = m(t) \cos(\omega_c t)
$$
注意，这个载波和输入信号同时改变极性的时候会出现反向点。
频域特性
DSB 信号的频谱是基带信号 $M(\omega)$ 频谱的左右平移：
$$
S_{DSB}(\omega) = \frac{1}{2} [M(\omega - \omega_c) + M(\omega + \omega_c)]
$$
- 带宽：$B_{DSB} = 2f_H$ (其中 $f_H$ 为基带信号的最高频率)。
- 无载波分量。
- 幅值变为一半。
解调方法
关于相关解调和非相关解调之间的区别：
(1)相干解调信噪比可低于0dB；
(2)非相干解调信噪比需大于10dB ；
(3)相干解调的信噪比性能优于非相干解调，而非相干解调对移动、大动态信噪比环境下的适应性更好。
首先介绍相干解调：
接收端需要一个与载波同频同相的本地载波 $\cos(\omega_c t)$：
他传来的信号里面没有载波分量，就需要我们揪出来一个。什么时候才能出频域分量？非线性变化。于是引入相乘：
- 相乘：
$$r(t) = s_{DSB}(t) \cdot 2\cos(\omega_c t) = m(t) \cos^2(\omega_c t) = m(t) [1 + \cos(2\omega_c t)]$$
$$
r(t) = m(t) + m(t) \cos(2\omega_c t)
$$
- 低通滤波 (LPF)：滤除高频项 $m(t) \cos(2\omega_c t)$，得到 $m(t)$。实际上就是再给相干的分量乘进去，再滤除掉这个高频部分。
非相干上面讲过了，不再说。
单边带调制 (SSB)
频谱特性
SSB 只保留上边带 (USB) 或下边带 (LSB) 中的一个，极大地节省了带宽，并提高了功率效率。
但是由于理想滤波器不存在，频域法（LPF）做SSB很复杂，效果也就那样，当然也可以用相位法来进行抵消，也很复杂。
普通调幅接收机不能接受SSB信号，因为普通的只能做包络检波，不能做相干。
- 带宽：$B_{SSB} = f_H$。
时域表达式
$$
s_{SSB}(t) = m(t) \cos(\omega_c t) \mp \hat{m}(t) \sin(\omega_c t)
$$
其中 $\hat{m}(t)$ 是 $m(t)$ 的希尔伯特变换。希尔伯特变换就是正余弦相移一个二分之pi。－可以看作上边带信号，+为下边带信号。
解调方法：相干解调
SSB 只能使用相干解调。（这个是为什么？）
残留边带调制 (VSB)
频谱特性
满足这个滤波器的截止特性在在载频处具有互补对称的条件就可以。
VSB 保留了一个完整的边带，以及另一边带的部分（残留边带）。是介于 DSB 和 SSB 之间的一种折中方案。
- 带宽：$f_H < B_{VSB} < 2f_H$。
优势
VSB 解决了 SSB 难以实现的滤波器问题，并保留了低频分量，适用于传输带有丰富低频分量（如直流分量）的信号，例如电视信号。
解调方法：相干解调
角度调制系统（非线性调制）
这个我们不考，所以就只讲一点。基本上知道FM PM是啥，知道他们是非线性调制，出现了很多频域分量，带宽变大，出来的信号质量更好就行了。
角度调制是非线性调制，载波的瞬时相位或瞬时频率随基带信号 $m(t)$ 变化。
调频 (Frequency Modulation, FM)
瞬时频率
载波的瞬时频率 $\omega_i(t)$ 随 $m(t)$ 线性变化：
$$
\omega_i(t) = \omega_c + k_f m(t)
$$
其中 $k_f$ 为调频系数，单位为 $\text{rad/s/V}$。
时域表达式
$$
s_{FM}(t) = A_c \cos[\omega_c t + \phi(t)]
$$
瞬时相位 $\phi(t)$ 是瞬时频率对时间的积分：
$$
\phi(t) = \int^t \omega_i(\tau) d\tau = \omega_c t + k_f \int^t m(\tau) d\tau
$$
FM 信号：
$$
s_{FM}(t) = A_c \cos[\omega_c t + k_f \int^t m(\tau) d\tau]
$$
调制指数 ($\beta$)
对于单音调制 $m(t) = A_m \cos(\omega_m t)$，FM 信号的调制指数为：
$$
\beta = \frac{\Delta \omega}{\omega_m} = \frac{k_f A_m}{\omega_m}
$$
其中 $\Delta \omega = k_f A_m$ 为最大角频偏。
带宽（卡森公式）
FM 信号的频谱是无限宽的，但能量主要集中在有限带宽内。卡森 (Carson) 公式用于估算有效带宽：
$$
B_{FM} \approx 2(\Delta f + f_m) = 2(\beta + 1) f_m
$$
其中 $\Delta f$ 为最大频偏（赫兹）。
解调方法
FM 信号通常采用鉴频器 (Frequency Discriminator) 来解调，它将频率变化转换为幅度变化，再进行包络检波或低通滤波。
调相 (Phase Modulation, PM)
瞬时相位
载波的瞬时相位 $\theta_i(t)$ 随 $m(t)$ 线性变化：
$$
\theta_i(t) = \omega_c t + k_p m(t)
$$
其中 $k_p$ 为调相系数。
时域表达式
$$
s_{PM}(t) = A_c \cos[\omega_c t + k_p m(t)]
$$
FM 与 PM 的关系
- 对 $m(t)$ 进行积分后对载波进行 FM 调制，得到 PM 信号。
- 对 $m(t)$ 进行微分后对载波进行 PM 调制，得到 FM 信号。
模拟调制系统的抗噪声性能
通信系统的抗噪声性能通常由解调器的抗噪声性能来衡量。在信道加性高斯白噪声的背景下，研究各种调制系统的性能。
性能分析模型与指标
接收机模型
已调信号 $s_m(t)$ 与信道加性高斯白噪声 $n(t)$ 混合后，先经过带通滤波器 (BPF) 滤除信号频带外的噪声，输入到解调器的信号为 $s_m(t)$，噪声为 $n_i(t)$。解调器输出的有用信号为 $m_o(t)$，噪声为 $n_o(t)$。
输入端噪声特性
输入解调器的噪声 $n_i(t)$ 是由平稳高斯白噪声 $n(t)$ 经过带通滤波器得到的，可视为平稳窄带高斯噪声。
窄带高斯噪声可以表示为：
$$
n_{i}(t)=n_{c}(t)\cos\omega_{c}t-n_{s}(t)\sin\omega_{c}t
$$
其中 $n_c(t)$ 和 $n_s(t)$ 分别是同相分量和正交分量，均值都为 $0$，且具有相同的方差。
输入噪声功率：若白噪声单边功率谱密度为 $N_0$，BPF 带宽为 $B$ (等于已调信号带宽 $W$)：
$$
N_{i}=\overline{n_{i}^{2}(t)}=N_{0}B
$$
质量指标
输出信噪比 (Output SNR)：衡量解调器输出的质量。
$$
\frac{S_{o}}{N_{o}}=\frac{\overline{m_{o}^{2}(t)}}{\overline{n_{o}^{2}(t)}}
$$输入信噪比 (Input SNR)：
$$
\frac{S_{i}}{N_{i}}=\frac{\overline{s_{m}^{2}(t)}}{\overline{n_{i}^{2}(t)}}
$$调制制度增益 (Gain)：用于比较同类调制系统的性能。
$$
G=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}
$$
线性调制系统性能推导
1. DSB-SC 调制系统 (相干解调)
输入信号功率：$S_{i} = \overline{s_{DSB}^{2}(t)} = \frac{1}{2}\overline{m^{2}(t)}$。
输出信号：$m_{o}(t)=\frac{1}{2}m(t)$。
输出信号功率：$S_{o} = \overline{m_{o}^{2}(t)} = \frac{1}{4}\overline{m^{2}(t)}$。
输出噪声功率：$N_{o} = \frac{1}{4}\overline{n_{i}^{2}(t)} = \frac{1}{4}N_{0}B$。
调制制度增益：$G_{DSB} = 2$。
2. SSB-SC 调制系统 (相干解调)
带宽：$B=W$ (基带信号带宽)。
输出信号功率：$S_{o}=\overline{m_{o}^{2}(t)}=\frac{1}{16}\overline{m^{2}(t)}$。
输出噪声功率：$N_{o} = \frac{1}{4}N_{0}W$。
调制制度增益：$G_{SSB} = 1$。
3. DSB 与 SSB 性能比较
虽然 $G_{DSB}=2$ 且 $G_{SSB}=1$，但这并不直接说明 DSB 性能更好。因为两者输入信号功率和带宽不同。
结论：在相同的输入信号功率 $S_i$、相同的噪声功率谱密度 $N_0$、相同的基带信号带宽 $W$ 条件下，DSB 和 SSB 的输出信噪比相等，表明两者的抗噪声性能是相同的。
4. AM 包络检波的性能
大信噪比情况：包络检波的性能与相干解调相同。
小信噪比情况：出现门限效应。在小信噪比下，包络检波器会把有用信号扰乱成噪声，输出信噪比急剧恶化。
各种模拟调制系统的性能比较
| 调制方式 | 传输带宽 | 直流响应 | 设备复杂性 | 主要应用 |
|---|---|---|---|---|
| DSB | $2f_H$ (无) | 无 | 中等：要求相干解调 | 模拟数据传输 |
| AM | $2f_H$ (有) | 有 | 较小：调制与解调简单 | 无线电广播 |
| SSB | $f_H$ (无) | 无 | 较大：要求相干解调，调制器也较复杂 | 话音通信，话音频分多路通信 |
| VSB | $f_H < B < 2f_H$ (有) | 有 | 较大：要求相干解调，调制器需要对称滤波 | 数据传输，宽带(电视)系统 |
| FM | $2(\Delta f + f_m)$ (有) | 有 | 中等：调制器有点复杂，解调器较简单 | 数据传输，无线电广播，微波中继 |
主要结论
抗噪声性能：WBFM (宽带调频) 最好；DSB、SSB、VSB 次之；AM 最差。当输入信噪比较高时，FM 的调频指数 $\beta$ 越大，抗噪声性能越好。
频带利用率：SSB 的带宽最窄，$B_{SSB}=f_H$，频带利用率最高。FM 占用带宽最大，随调频指数 $\beta$ 增大而增大，频带利用率最低。
权衡：FM 是以牺牲有效性（带宽）来换取可靠性（抗噪声性能）的典型代表。
频分复用 (FDM)
概念与目的
复用 (Multiplexing)：解决如何利用一条物理信道同时传输多路信号的技术。目的是为了充分利用信道的频带、时间、空间资源，提高信道的利用率。
频分复用 (FDM)：是一种按频率来划分信道的复用方式。
FDM 原理与实现
划分频段：将信道的总带宽划分为多个相互不重叠的频段（子通道），每路信号占据其中一个子通道。
保护频带：各路信号之间留有未被使用的频带（保护频带）进行分隔，以防止信号重叠和路间干扰。
发送端：每路基带信号 $m_i(t)$ 先经过低通滤波 (LPF)，然后与不同的载波 $\omega_{c_i}$ 相乘（调制），再经过边带滤波器 ($\text{SBF}_i$) 选出所需的边带，最后通过相加器将多路已调信号合路并送入信道。
接收端：接收到的合路信号经过带通滤波器 ($\text{BPF}i$) 分离出对应的子通道信号，再与同频载波 $\omega{c_i}$ 相乘（解调），最后经过 LPF 即可恢复出原始基带信号 $m_i(t)$。
FDM 优缺点
优点：
信道复用率高。
允许复用的路数多。
分路（分频）方便。
缺点：
设备生产较为复杂。
滤波器特性不理想和信道内存在非线性会产生路间干扰。