第三章 随机过程-谱分析
好疲惫喵 QAQ 不想写了喵 QAQ
1 随机过程的谱分析
让我们像以往一样，在分析随机信号之前，先从确定信号说起，来建立起初步的感知。
1.1 确定信号的频谱回顾
（1）能量信号（Energy Signal）
较为简单的一个东西，比如一个duang的声音，播放完就没有了，能量有限可以直接算出。
信号在时间上可以很乱，但我们往往关心它“在哪些频率上有能量”。
于是，从时域走向频域，第一步是能量的定义：
$$
E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 , dt
$$
若 $E<\infty$，称为能量信号（如有限时间非周期信号）。
其傅里叶变换为：
$$
X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt
$$
他的模平方就是能量在频率上的分布，称为能量谱密度：
$$
|X(\omega)|^2
$$
Parseval 定理：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(\omega)|^2 d\omega
$$
能量谱密度反映了信号能量在频域中的分布。
从直觉上来看，就是这个时域的平方积分和频域的平方积分之间的转换，我们可以在不同的维度下求出能量。
（2）功率信号（Power Signal）
$X(t)$ 通常不会结束，能量无穷大。
于是我们换一个视角，只看单位时间的平均能量（即功率）：
$$
P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt
$$
功率有限的周期信号为功率信号。于是我们关心的变成了功率在频率上的分布，也就是功率谱密度（PSD）。
功率谱密度（PSD）定义为：
$$
S_x(\omega) = \lim_{T\to\infty} \frac{E[|X_T(\omega)|^2]}{2T}
$$
其中 $X_T(\omega)$ 为时间窗 $[-T, T]$ 内的傅里叶变换。
所以这个PSD就是频率维度上的平均功率分布。
1.2 随机信号的平均功率谱密度
随机信号 $X(t)$ 的功率谱密度：
他的含义就是信号在某个频域附近的平均功率是多少。
$$
S_X(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{E[|X_T(\omega)|^2]}{2T}
$$
特点：
[!WARNING]
未经证实的特点，需要下一步勘误
样本信号一般为功率信号；
各样本信号的谱密度不同；
$S_X(\omega)$ 是随机函数，一般取数学期望；
随机信号功率 $P_X = E[|X(t)|^2]$ 是随机变量，通常只关心其均值。
1.3 功率谱密度与复频率面
功率谱密度 $S_X(\omega)$ 在复频率面 $s=j\omega$ 上定义：
$$
S_X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)e^{-s\tau} d\tau
$$
若 $S_X(\omega)$ 是有理谱，则可表示为：
$$
S_X(s) = K \frac{\prod (s - \alpha_i)(s + \alpha_i)}{\prod (s - \beta_i)(s + \beta_i)}
$$
实信号满足：
$$
S_X(s) = S_X^*(-s)
$$
这个的具体求解要回去翻信号与系统，学一下拉普拉斯变换。
2 随机过程功率谱密度的性质
实偶性：
$$
S_X(-\omega) = S_X(\omega)
$$非负性：
$$
S_X(\omega) \ge 0
$$Parseval 关系：
$$
R_X(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)d\omega
$$积分有限性：
对平稳过程，$\int S_X(\omega)d\omega$ 收敛。有理谱分解：
若谱为有理函数，则其极点在左半平面，零点在虚轴或左半平面上。
3 功率谱密度与自相关函数的关系
维纳–辛钦定理（Wiener–Khinchin Theorem）
若随机过程 $X(t)$ 是宽平稳的（WSS），则：
$$
S_X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau
$$
$$
R_X(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)e^{j\omega\tau} d\omega
$$
平均功率：
$$
E[X^2(t)] = R_X(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)d\omega
$$
信号越“平滑”，$R_X(\tau)$ 衰减越慢，对应低频占主导；
信号变化越快，$R_X(\tau)$ 快速衰减，对应高频成分强。
4 离散时间随机过程的功率谱密度
如果这个 $X(n)$ 是 $X(t)$ 经过采样间隔 $T$ 均匀采样之后得到的广义平稳随机序列：
若 $X(n)$ 为平稳离散随机序列：
$$
R_X(m) = E[X(n)X(n+m)] = R_X(mT)
$$
则其功率谱密度为：
$$
S_X(\Omega) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} R_X(m)e^{-j\Omega m}
$$
其逆变换：
$$
R_X(m) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} S_X(\Omega)e^{j\Omega m} d\Omega
$$
平均功率：
$$
E[|X(n)|^2] = R_X(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} S_X(\Omega)d\Omega
$$
采样间隔为 $T$ 时：
$$
S_X(\omega) =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S_c(\omega - k\omega_s)
$$
这就是功率谱密度的采样定理。
其中 $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$
[!NOTE]
采样定理讲的不细，这个还不是很理解，因为信号与系统没学好这个都没咋认真听。包括什么谱分解定理，更是不会。
5 联合平稳随机过程的互谱密度
我说实在的，我已经看不懂她PPT上在推导什么了，下面的这些笔记全都是AI代劳的。
若 $X(t)$ 与 $Y(t)$ 为联合平稳过程，则定义互功率谱密度：
$$
S_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_{XY}(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau
$$
性质：
- $S_{XY}^*(\omega) = S_{YX}(\omega)$；
- 对实过程有 $S_{XY}(-\omega) = S_{YX}^*(\omega)$；
- 若 $X,Y$ 不相关，则 $S_{XY}(\omega)=0$。
6 白噪声（White Noise）
（1）定义
若功率谱密度为常数：
$$
S_N(\omega) = \frac{N_0}{2}
$$
则称该噪声为白噪声。自相关函数：
$$
R_N(\tau) = \frac{N_0}{2}\delta(\tau)
$$
（2）理想白噪声
特征：
- 均值为零；
- $S_N(\omega)$ 为常数；
- 平均功率无穷大；
- 实际中不存在，只能近似。
（3）限带白噪声与色噪声
若 $S_N(\omega)$ 在有限带宽 $[-W, W]$ 内为常数：
$$
S_N(\omega) = N_0/2, \quad |\omega| \le W
$$
称为限带白噪声；若谱密度随频率变化，则为色噪声（Colored Noise）。
（4）信噪比（SNR）
定义：
$$
\mathrm{SNR} = \frac{P_s}{P_n}, \quad \text{(dB)} = 10\log_{10}\frac{P_s}{P_n}
$$
例：
已知 $s(t)=4\cos(\omega_0 t)$，$n(t)$ 为带宽 $2$ kHz、功率谱密度 $S_N(\omega)=2$ 的低通白噪声：
$$
P_s = \frac{A^2}{2} = 8, \quad P_n = 2W/\pi = 8000
$$
$$
\mathrm{SNR} = 10\log_{10}\frac{8}{8000} \approx -30 \text{ dB}
$$