高等数学：从函数到场的认识论总图
你未看此花时，此花与汝心同归于寂。你来看此花时，则此花颜色一时明白起来。便知此花不在你的心外。
——王阳明《传习录》
〇、先说明：这不是另一份公式手册
这篇文章来自我对高数内容的一次重新口述，也沿用了上一篇《第一章：函数、极限与连续》的基本想法。覆盖范围按工科考研常见的数学一高数部分整理，但它不是考试大纲的逐字转录，也不能代替教材、课程与做题。
我想干的事情更像是把已经学过的东西重新压缩一次：每个概念为什么会被发明，它补上了上一个模型的哪个缺口；一个定理到底拿什么作输入、吐出什么结论；一堆看起来不相干的做题技巧，在整套系统里分别是什么零件。
数学知识如果只剩一张公式表，压缩率很高，但压坏了。如果只剩几百页推导，又展开得找不到入口。真正的内化，大概是能在两者之间来回移动：看见一个公式，能把它展开；做完一章，又能把它压回一句话。
当然，这篇总图依旧只是一个模型。高数不会因为我给它画了一张地图，就自动长进脑子里。题还是得做。这个补丁先打在这里，免得写到后面又产生一种已经学会了的幻觉。
一、认识论起点：数学是现实的有损压缩
人没有办法把现实原封不动地搬进脑子里。我们只能从连续、混乱而巨量的感知中挑出少数变量，忽略暂时不重要的细节，再把变量之间的关系写成一个模型。
函数把关系压缩成 $y=f(x)$；导数把局部变化压缩成一个数；积分把无数局部贡献压缩成一个总量；微分方程更进一步，不再直接告诉我们对象是什么，而是规定它应当怎样变化。
模型一定有三个指标：
- 压缩率：能不能用较少的信息描述较多的现象；
- 可展开性：能不能从压缩结果重新找回推理链、条件和细节；
- 有效域：它在什么条件、尺度和精度下还能用。
所谓数学上的美，也许正来自高压缩率下仍然保持可展开性。对称能减少独立信息，统一能把多个规律收进同一结构，守恒让一个变化过程里始终有东西不变。我们看见这些结构时产生的“原来如此”，大概就是大脑发现自己可以少存一点东西了。
但可解释不等于可消解。把花的颜色解释成光谱、视锥细胞与神经编码，不会让颜色变成假的；把运动压缩成微分方程，也不意味着现实本身就是那几行符号。机制回答的是“如何发生”，模型回答的是“怎样计算”，它们不能单独回答“世界究竟是什么”。
高数整套内容，可以先压成下面这张图：
下面开始展开。
二、函数：先决定我们在描述什么关系
2.1 函数不是公式，是对应规则
函数的本体不是 $x^2$、$\sin x$ 那一行式子，而是一个对应：对定义域 $D$ 中每个输入 $x$，按照同一规则，唯一确定一个输出 $f(x)$。
$$
f:D\to Y,\qquad x\mapsto f(x)
$$
这里至少有四件事不能混：
定义域：模型允许吃进哪些输入；
对应法则：它怎样把输入变成输出；
值域：实际能够吐出哪些输出；
图像：所有有序对 $(x,f(x))$ 的几何表示。
同一个解析式，定义域不同，就是不同函数。$f(x)=1/x$ 如果只在正数上讨论，和在全体非零实数上讨论，单调区间、值域、反函数都会不同。模型的边界不是附注，而是模型本身。
2.2 几类函数操作到底在干什么
复合函数 $f(g(x))$ 是把两个模型串联：前一个模型的输出，成为后一个模型的输入。成立条件不是“看着能套”，而是 $g(x)$ 的值必须落在 $f$ 的定义域中。
反函数 $f^{-1}$ 是把输入与输出的位置交换。它要求原函数在所讨论区间上一一对应；考研语境里，严格单调通常是最方便的充分条件。图像关于 $y=x$ 对称，定义域和值域互换。
隐函数不是没有函数，而是对应关系没有被显式解成 $y=f(x)$。例如
$$
x^2+y^2=1
$$
在整个圆上不能把 $y$ 写成关于 $x$ 的单值函数，但在上半圆或下半圆的局部可以。这里已经埋下了一个以后会反复出现的主题：整体失败，不代表局部不能工作。
参数方程用第三个变量 $t$ 同时生成 $x$ 与 $y$：
$$
x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t)
$$
它不再把 $x$ 强行设为唯一输入，因而更适合描述圆、摆线等带方向的运动轨迹。
2.3 函数性质是模型的体检报告
| 性质 | 数学问题 | 认知意义 |
|---|---|---|
| 有界性 | $f(x)\le M$ 是否成立 | 输出会不会逃出有限控制范围 |
| 单调性 | 输入增加时输出怎样变化 | 关系的方向是否稳定 |
| 奇偶性 | $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系 | 是否存在关于原点或纵轴的对称压缩 |
| 周期性 | 是否有 $f(x+T)=f(x)$ | 变化是否以固定结构重复 |
| 凹凸性 | 斜率是在增加还是减少 | 变化率本身如何变化 |
基本初等函数——幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数——可以看成之后建模的基础元件。初等函数则由这些元件经过有限次四则运算与复合构成。
函数解决了“谁和谁有关”。但它还没有回答：当输入并不真正到达某点，只是不断靠近时，输出会怎样。于是模型撞上了第一堵墙。
三、数列：函数的离散支线
3.1 从连续输入中抽出整数时刻
数列可以看成定义域为正整数集的函数：
$$
n\mapsto a_n,\qquad n\in\mathbb N^+
$$
它描述的不是一条连续曲线上每一点的关系，而是一串按顺序编号的状态。等差、等比、递推数列，分别对应恒定增量、恒定倍率和“下一状态由之前状态生成”的不同动力结构。
前 $n$ 项和
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k
$$
又给原数列安装了一个累加器。之后的无穷级数，研究的其实不是 $a_n$ 自己是否趋近于零，而是这个累加器 $S_n$ 最后是否稳定。
3.2 数列极限：无限迭代后稳定在哪里
若对任意 $\varepsilon>0$，都存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时恒有
$$
|a_n-A|<\varepsilon,
$$
就称 $a_n\to A$。
这里的核心不是“越来越近”这句直觉，而是：无论允许误差被压到多小，总能找到一个统一的时刻 $N$，使后面所有项都被锁进误差带。极限描述的是尾部整体行为，不是偶尔靠近一次。
收敛数列有三条基本性质：
唯一性：不能同时收敛到两个不同的值；
有界性：收敛之后不可能整体逃向无穷，但有界并不保证收敛；
保号性：若极限严格为正或负，则充分靠后的项保持同号。
常用判定与计算工具：
四则运算法则；
夹逼定理；
单调有界准则：单调增加且有上界，或单调减少且有下界，则必收敛；
递推数列常先证明单调有界，再设极限代入递推式求候选值；
Stolz 定理可处理某些数列比值极限，但是否使用要看具体课程范围。
海涅定理把函数极限与数列极限连接起来：
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，当且仅当对任意满足 $x_n\to x_0$ 且 $x_n\ne x_0$ 的数列，都有 $f(x_n)\to A$。
它的反面尤其好用。想证明函数极限不存在，只要找到两条趋近同一点的数列，使函数值趋向不同结果即可。多元函数极限中，这个思想会变成“沿不同路径逼近”。
子数列是从原数列中按严格递增下标抽样得到的 $a_{n_k}$。若原数列收敛，则所有子数列都收敛到同一极限；反过来，只要找出两个极限不同的子数列，就能证明原数列发散。子数列不是局部八卦，它在检查原序列是否真的存在统一尾部行为。
四、极限：不要求到达，也能讨论结果
4.1 极限把“过程”引入函数
函数值 $f(x_0)$ 只描述一个点，极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 描述点附近的整体趋势。两者可以相同，也可以毫无关系；函数甚至可以在 $x_0$ 没有定义，极限照样存在。
严格地说，
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=A
$$
是指对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得当
$$
0<|x-x_0|<\delta
$$
时，总有
$$
|f(x)-A|<\varepsilon.
$$
$\varepsilon$ 规定输出误差，$\delta$ 给出相应的输入控制范围。先任意刁难输出精度，再证明输入总能被控制得足够好，这就是定义里的量词顺序。
左极限与右极限分别限制从 $x_0$ 左右靠近。二者都存在且相等，双侧极限才存在：
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=A
\iff
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A.
$$
无穷远处的极限研究 $x$ 逃向远方时函数的长期行为；无穷极限则描述函数值突破任意有限阈值。要注意，$\infty$ 在标准实分析里不是一个普通实数，不能像普通数一样随便代数运算。
极限式中的等号是普通实数意义下的等号，但它并不意味着函数值在靠近过程中最终等于极限值。标准实分析通过 $\varepsilon-\delta$ 语言描述「任意逼近」；而超实数理论则引入真正的无穷小量，并通过「无限接近」与标准部分映射，为极限提供另一种等价的理解方式，我个人觉得这样理解更加的直观，当然这里的一些证明是掺杂着一些我的野路子的，可能中间有问题：
4.2 关于无穷小、超实数与 $0.999\ldots$（重中之重）
标准高数把无穷小定义为以零为极限的变量，而不是某个固定的“极小实数”。如果 $\alpha(x)\to0$，便称 $\alpha$ 是相应过程中的无穷小。无穷大量同理，它描述变量绝对值可以超过任意给定正数。
超实数确实提供了另一种严格的非标准分析：数系中可以包含非零无穷小与无限大数。但它是另一套理论工具，不是标准考研高数证明极限的必要前提。
在实数中，
$$
0.999\ldots=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac9{10^k}=1.
$$
换句话说就是 $1=31/3=30.333…=0.999…$ 因此 $0.999\ldots$ 与 $1$ 不是两个相差“一个无穷小”的实数，而是同一个实数的两种表示。若在超实数中只写到某个无限超整数位，确实会得到与 $1$ 相差无穷小的超实数，但那不再是通常定义下的无限循环小数。直觉可以借，账不能串。
4.3 极限的结构性结论
极限存在时，通常拥有：
唯一性；
局部有界性；
局部保号性；
四则运算封闭性（除法要求分母极限不为零）；
复合传递性，但需要检查内层函数的取值及外层函数的连续条件。
两个重要极限：
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
\qquad
\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.
$$
第二个极限有大量等价变形。处理 $1^\infty$ 型时，经常先取对数，把幂指型问题转为乘积极限。
4.4 无穷小的比较
若 $\alpha,\beta\to0$ 且 $\beta\ne0$，则看
$$
\lim\frac{\alpha}{\beta}.
$$
等于 $0$：$\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小；
等于非零常数 $c$：二者同阶；
等于 $1$：二者等价，记作 $\alpha\sim\beta$；
极限不存在或为无穷：不能按上述方式简单归类。
常见等价无穷小（$x\to0$）：
$$
\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x,
$$
$$
1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\quad e^x-1\sim x,\quad \ln(1+x)\sim x,
$$
$$
(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x.
$$
等价替换最安全的使用位置是乘积或商的因子。加减式中直接替换可能把主项消掉，暴露出之前忽略的高阶项。例如 $\sin x-x$ 不能把 $\sin x$ 直接换成 $x$ 后宣布结果为零；这里真正决定量级的是三阶项。
这里注意一个易错点，就是等价无穷小的替代，不要乱拆，如果要用等价无穷小一定要加上对超实数的理解，明白这个等价无穷小等价的是两个超实数，是两个不同阶的无穷小，而不是两个数。
4.5 极限计算工具箱
| 工具 | 核心操作 | 先检查什么 |
|---|---|---|
| 四则运算 | 把复杂极限拆成已知极限 | 各部分极限是否存在、分母是否趋零 |
| 因式分解/有理化 | 消去造成 $0/0$ 的表面结构 | 能否制造公因子或共轭式 |
| 夹逼定理 | 用上下界锁住目标 | 两侧是否趋于同一极限 |
| 等价无穷小 | 替换乘除中的同阶主项 | 趋近点是否为零、是否发生加减抵消 |
| 洛必达法则 | 比较分子分母变化率 | 必须是 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，并满足可导等条件 |
| 泰勒公式 | 提取逐阶主项 | 需要展开到第几阶才能避免抵消 |
| 变量代换 | 把陌生趋近过程改成熟悉形式 | 新变量的趋向与取值范围 |
其余未定式——$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$——不是洛必达可以直接吞进去的输入，必须先通过通分、倒数、取对数等操作变成商的未定式。
五、连续：趋势与取值能不能接上
5.1 连续的三个接口
函数在 $x_0$ 连续，要求同时满足：
$f(x_0)$ 有定义；
$\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在；
$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
也可以压成增量形式：当 $\Delta x\to0$ 时，
$$
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\to0.
$$
连续不是说图像“看起来能一笔画完”这么简单，而是输入的小扰动只造成输出的小扰动。它是模型局部稳定性的第一种表达。
5.2 间断点分类
| 类型 | 左右极限 | 函数值 | 特征 |
|---|---|---|---|
| 可去间断 | 存在且相等 | 未定义或不等于极限 | 补一个点即可连续 |
| 跳跃间断 | 都存在但不相等 | 任意 | 左右两套趋势接不上 |
| 无穷间断 | 至少一侧趋于无穷 | 任意 | 输出失去有限控制 |
| 振荡间断 | 至少一侧极限不存在 | 任意 | 邻域中持续振荡，无法稳定 |
前两类通常称第一类间断点，后两类称第二类间断点。第二类间断点不止这两个。
5.3 闭区间连续函数为什么重要
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则有：
有界性定理：函数值不会逃向无穷；
最值定理：一定能取到最大值与最小值；
介值定理：端点函数值之间的每个值都能取到；
零点定理：若 $f(a)f(b)<0$，则至少有一点 $\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。
这里“闭区间”与“连续”缺一个都可能失效。定理不是祝福语，它是一组接口契约。做证明题时，第一件事不是背结论，而是逐个核对契约有没有满足。
六、导数与微分：给静态关系装上局部测速器
6.1 导数是局部变化率
函数给出 $x$ 与 $y$ 的静态对应，导数追问输入发生微小变化时，输出以多快速度响应：
$$
f’(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
$$
它有三种同时成立的理解：
- 几何上，是曲线在该点切线的斜率；
- 物理上，是瞬时变化率；
- 认识论上，是用一个局部常数压缩邻域内的一阶变化。
左右导数都存在且相等，导数才存在。可导必连续，但连续不必可导。尖点、角点、竖直切线或剧烈振荡，都可能让连续曲线失去有限导数。
6.2 微分不是“另一个导数”
若函数增量可写成
$$
\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),
$$
就称函数在该点可微，并定义微分
$$
dy=A,dx=f’(x)dx.
$$
$A\Delta x$ 是增量的线性主部，$o(\Delta x)$ 是相对于 $\Delta x$ 更高阶的误差。微分所做的不是凭空塞进一个超实数，而是在实数极限框架中，用最佳线性模型替代局部曲线，换言之，微分就是一个近似量
$$
f(x+\Delta x)\approx f(x)+f’(x)\Delta x.
$$
一元函数中，可导与可微等价。多元函数中，所有偏导数存在仍不必可微，因为沿坐标轴测到的几个方向，不足以控制平面里所有方向；真正的可微要求存在一个统一的线性映射近似全部方向。
6.3 求导规则
基础规则：
$$
(u\pm v)’=u’\pm v’,\qquad (uv)’=u’v+uv’,
$$
$$
\left(\frac uv\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2},\qquad
[f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x).
$$
常见方法：
复合函数求导：沿依赖链逐层乘导数；
隐函数求导：等式两边对 $x$ 求导，把 $y$ 看成 $y(x)$；
反函数求导：若 $y=f(x)$ 可逆且 $f’(x)\ne0$，则 $(f^{-1})’(y)=1/f’(x)$；
参数方程求导：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$，要求 $dx/dt\ne0$；
对数求导：适合连乘、连除、变底数幂指函数；
高阶导数：继续测量变化率的变化率，$f’’$ 描述斜率怎样变化。
对数求导处理 $y=u(x)^{v(x)}$ 时：
$$
\ln y=v\ln u,
\qquad
\frac{y’}y=v’\ln u+v\frac{u’}u,
$$
需要先保证所讨论实数范围内 $u>0$。
6.4 泰勒公式：逐阶提取局部信息
微分只保留一次项，泰勒公式则让局部模型逐阶增加精度。若函数足够光滑，
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x).
$$
多项式部分使它在 $a$ 点与原函数拥有相同的函数值、一阶导数、二阶导数……直到 $n$ 阶导数。余项负责记录被压缩掉的误差。
常见两种余项：
$$
R_n(x)=o((x-a)^n) \quad\text{（佩亚诺余项）},
$$
$$
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
\quad\text{（拉格朗日余项）}.
$$
前者适合极限中的阶数比较，后者适合估计近似误差。
常用麦克劳林展开：
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots,
$$
$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots,
\qquad
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots,
$$
$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,
$$
$$
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots.
$$
泰勒不是“一条直线逼近曲线”的最好证明，那只是它的一阶版本。更准确地说，它用逐阶匹配导数的多项式，建立一个可调精度的局部替身。
七、中值定理与导数应用：从一个点的变化推出一段路的命运
导数是局部信息。但真正做题时，我们经常想知道一整个区间上的单调、最值、零点、凹凸和不等式。中值定理就是从局部走向整体的桥。
7.1 三个中值定理是一条逐步扩展的链
罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则至少存在 $\xi\in(a,b)$ 使
$$
f’(\xi)=0.
$$
曲线从同一高度出发又回到同一高度，中间至少有一处水平切线。
拉格朗日中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，则至少存在 $\xi\in(a,b)$ 使
$$
f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$
某一瞬间的变化率，等于全程平均变化率。它也可以改写为
$$
f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a),
$$
把有限增量与局部导数接了起来。
柯西中值定理：若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，并满足相应非退化条件，则存在 $\xi$ 使
$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}.
$$
它比较两个量的总变化与瞬时变化，是洛必达法则背后的结构来源。
三个定理的做题核心通常不是背结论，而是构造辅助函数，让题目所要证明的式子变成某个 $F’(\xi)=0$ 或中值公式。看到两端相等想罗尔，看到函数差想拉格朗日，看到两个函数增量比想柯西。
7.2 洛必达法则的正确接口
若在相应趋近过程中
$$
f(x)\to0, g(x)\to0
\quad\text{或}
\quad |f(x)|,|g(x)|\to\infty,
$$
并且邻域内可导、$g’(x)\ne0$，且
$$
\lim\frac{f’(x)}{g’(x)}=L
$$
存在（或为无穷），则在法则条件满足时
$$
\lim\frac{f(x)}{g(x)}=L.
$$
它不是“分子分母同时求导”的代数恒等式，只是一个极限定理。原极限存在不保证导数比极限存在；导数比算得更复杂时，应立即换工具。连续使用洛必达时，每一轮都要重新检查未定式。
7.3 用导数读取函数图像
单调性：在区间内 $f’(x)>0$ 则严格增加，$f’(x)<0$ 则严格减少。反过来，可导的单调函数只能推出导数非负或非正，不能保证处处严格同号。
极值：若函数在内点取得极值且可导，则 $f’(x_0)=0$。这是必要条件，不是充分条件。驻点还可能只是水平拐点。
判别工具：
一阶导数由正变负，为极大值；由负变正，为极小值；
若 $f’(x_0)=0$ 且 $f’’(x_0)>0$，为极小值；若 $f’’(x_0)<0$，为极大值；若 $f’’(x_0)=0$，本判别失效。
最值：闭区间最值要比较区间内部驻点、不可导点与两个端点的函数值。极值是局部概念，最值是全局比较。
凹凸性：按国内教材常用约定，$f’’(x)>0$ 时曲线为凹，$f’’(x)<0$ 时为凸。拐点要求凹凸性在点的两侧真正改变；$f’’(x_0)=0$ 只是候选条件。
渐近线：
若 $x\to x_0$ 时 $f(x)\to\infty$，则 $x=x_0$ 是垂直渐近线；
若 $x\to\pm\infty$ 时 $f(x)\to b$，则 $y=b$ 是水平渐近线；
若 $\lim_{x\to\infty}f(x)/x=k$ 且 $\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]=b$，则 $y=kx+b$ 是斜渐近线。
画函数图像的常见流程可以压缩成：定义域与对称性 → 间断点与渐近线 → 一阶导数看单调和极值 → 二阶导数看凹凸和拐点 → 取少量关键点校准。
7.4 不等式、方程根与曲率
导数证明不等式的常见做法，是把不等式移项构造 $F(x)$，再研究其单调性或最值。这里不是在“硬算大小”，而是证明差值模型在整个区间中不会穿过零。
方程根的讨论通常分三层：连续性和零点定理保证存在，单调性或罗尔定理保证唯一，再用二分法或牛顿法做数值逼近。
平面曲线 $y=f(x)$ 的曲率为
$$
\kappa=\frac{|y’’|}{[1+(y’)^2]^{3/2}},
$$
曲率半径为 $\rho=1/\kappa$。它把“弯得多厉害”从视觉感觉压成一个局部量。参数曲线则有相应公式：
$$
\kappa=\frac{|x’y’’-y’x’’|}{[(x’)^2+(y’)^2]^{3/2}}.
$$
八、不定积分：从变化率反推原对象
8.1 原函数是一族函数
若在区间上 $F’(x)=f(x)$，则称 $F$ 是 $f$ 的一个原函数。所有原函数构成
$$
\int f(x),dx=F(x)+C.
$$
常数 $C$ 不是装饰。求导会消掉常数，因此从导数反演回去时，丢失的初始高度无法由 $f$ 唯一恢复。一个导数对应整族彼此相差常数的函数。
不定积分不是“某块面积”，它是求原函数的运算。积分变量也只是局部记号：
$$
\int f(x)dx=\int f(t)dt.
$$
8.2 基本积分法
直接积分依靠基本积分表与线性性质：
$$
\int[af(x)+bg(x)]dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx.
$$
第一类换元法（凑微分）：若能认出复合结构，
$$
\int f(\varphi(x))\varphi’(x)dx
=\int f(u)du.
$$
它是复合函数求导的逆操作。
第二类换元法：令 $x=\varphi(t)$，把根式或三角结构换到更容易积分的变量中。换元后必须同步替换被积函数、$dx$，定积分还要换上下限。
分部积分来自乘积求导：
$$
\int u,dv=uv-\int v,du.
$$
它适合把“难积分但容易求导”的因子降级，例如对数、反三角函数、多项式与指数或三角函数的乘积。选择 $u$ 的标准不是死背顺序，而是看求导后是否让整体更简单。
有理函数积分通常先做多项式除法，再把真分式作部分分式分解。分母在实数域中分解为一次因子与不可约二次因子，对应对数、反正切等基本形式。
三角有理式可用恒等变形或万能代换 $t=\tan(x/2)$；含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 的根式常用三角代换或双曲代换。工具的目的都是把陌生结构改写成积分表认识的结构。
8.3 为什么有些初等函数积不出来
函数是初等的，不代表它的原函数也能用有限个初等函数表示。例如
$$
\int e^{-x^2}dx
$$
没有初等原函数。这不是人类还没有找到足够聪明的凑微分，而是可以严格证明的结构限制。此时可以用定积分、特殊函数、级数或数值方法描述结果。模型工具箱有边界，积分表不是全能词典。
九、定积分：把无限多个局部贡献压成一个总量
9.1 黎曼和的四步
在 $[a,b]$ 上分割区间：
$$
a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b.
$$
在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中任取 $\xi_i$，构造和
$$
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$$
当最大分割长度 $\lambda=\max\Delta x_i\to0$ 时，如果无论怎样分割、怎样选取样点，这个和都趋向同一有限值，就定义
$$
\int_a^bf(x)dx.
$$
它的生成机制始终是：分割 → 局部近似 → 求和 → 取极限。面积、路程、质量、功、平均值都只是这台累积机器的不同输入解释。
9.2 定积分的性质
线性性；
区间可加性；
保序性：$f\le g\Rightarrow\int f\le\int g$；
估值：若 $m\le f\le M$，则 $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$；
绝对值不等式：$\left|\int f\right|\le\int|f|$；
积分中值定理：连续函数至少在某点取到其平均高度。
若 $f$ 为奇函数，$\int_{-a}^af(x)dx=0$；若为偶函数，$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$。周期函数在整周期上的积分与起点无关。这些都在用对称和重复减少计算量。
9.3 微积分基本定理：局部变化与整体累积终于闭环
定义变上限积分
$$
\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt.
$$
若 $f$ 连续，则
$$
\Phi’(x)=f(x).
$$
而若 $F’(x)=f(x)$，则牛顿—莱布尼茨公式给出
$$
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).
$$
导数把整体函数压缩成局部变化率，定积分把局部变化率重新累积成整体变化。两种看似相反的运算，在适当条件下互为逆操作。这是整门微积分真正闭环的地方。
变上限积分求导时要使用链式法则。例如
$$
F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt
$$
则
$$
F’(x)=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x).
$$
9.4 定积分计算与几何应用
定积分换元：
$$
\int_a^bf(x)dx
=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi’(t)dt,
$$
其中 $\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$，还需满足相应连续、单调等条件。定积分分部积分为
$$
\int_a^bu,dv=[uv]_a^b-\int_a^bv,du.
$$
常见几何量：
平面面积：先判断上下或左右，再积分差值；面积不能直接让正负抵消。
$$
A=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx.
$$
旋转体体积：圆盘/垫片法
$$
V=\pi\int_a^b[R(x)^2-r(x)^2]dx,
$$
柱壳法则按“周长 × 高 × 厚度”累积。
弧长：
$$
L=\int_a^b\sqrt{1+[y’(x)]^2},dx,
$$
参数曲线为
$$
L=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2},dt.
$$
旋转曲面面积：绕 $x$ 轴旋转时
$$
S=2\pi\int_a^b|y|\sqrt{1+(y’)^2},dx.
$$
此外还有平均值、变力做功、液体压力、质心等。不要分开死背，它们都由同一模板生成：找微元 → 写局部贡献 → 在正确区间上累积。
9.5 反常积分：把积分推到无穷边界或无界函数
无穷区间积分通过极限定义：
$$
\int_a^{+\infty}f(x)dx
=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx.
$$
无界函数积分则在瑕点处分开取极限。若瑕点位于内部，必须拆成左右两个积分，且二者都收敛；不能让两个无穷“对称抵消”。
典型 $p$ 型判据：
$$
\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}dx
\begin{cases}
\text{收敛},&p>1,\
\text{发散},&p\le1,
\end{cases}
$$
$$
\int_0^1\frac1{x^p}dx
\begin{cases}
\text{收敛},&p<1,\
\text{发散},&p\ge1.
\end{cases}
$$
正项反常积分可用比较判别、极限比较判别。一般函数还要区分绝对收敛与条件收敛。反常积分不是“带无穷符号的普通定积分”，它首先是一个极限存在性问题。
十、空间解析几何：先给多变量世界搭一个坐标架
从一元函数走向多元函数之前，需要先学会描述空间中的点、方向、直线、平面和曲面。
10.1 向量把大小和方向合成一个对象
空间向量 $\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)$ 的模为
$$
|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
$$
数量积
$$
\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
$$
输出一个标量，用来计算夹角、投影与垂直关系。
向量积
$$
\mathbf a\times\mathbf b
$$
输出一个同时垂直于二者的向量，模长等于平行四边形面积，用来构造法向量、方向与面积元。
混合积
$$
[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]
=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)
$$
的绝对值是平行六面体体积，也可判断三个向量是否共面。
10.2 直线、平面与曲面
平面的点法式：
$$
\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0,
$$
一般式：
$$
Ax+By+Cz+D=0,
$$
其中 $(A,B,C)$ 是法向量。
空间直线的点向式：
$$
\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf s,
$$
其中 $\mathbf s$ 是方向向量。直线也可表示为两个平面的交线。
角度问题本质上都转化为方向向量或法向量的夹角：直线与直线看方向，平面与平面看法向量，直线与平面则看方向与法向量的余角。
常见二次曲面——椭球面、椭圆抛物面、双曲抛物面、单叶/双叶双曲面、锥面——不应只靠背图。用截痕法固定一个坐标，看剩余两个变量组成什么曲线，便能从二维切片重建三维形状。旋转曲面则把平面曲线绕轴旋转生成。
十一、多元函数微分学：一个输出同时响应多个输入
11.1 从曲线升级为标量场
二元函数
$$
z=f(x,y)
$$
给平面中每个允许的点分配一个数值。图像是空间曲面；等值线 $f(x,y)=c$ 则把相同函数值的点连起来。温度场、高度场、势能场都属于这种结构。
二重极限
$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A
$$
要求从任意方向、任意路径靠近都得到同一结果。沿两条不同路径得到不同极限，足以证明极限不存在；但沿若干条常见路径结果相同，不能证明极限存在，因为路径有无穷多条。真正证明通常需要夹逼、极坐标代换或严格估计。
多元连续仍然是极限等于函数值。初等多元函数在其有定义的区域内通常连续，因而很多时候可以直接代入，但分母为零、根号与对数边界处仍需检查。
11.2 偏导数只测坐标轴方向
固定 $y$，只让 $x$ 变化，得到
$$
f_x(x_0,y_0)
=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}.
$$
$f_y$ 同理。偏导数分别测量沿坐标轴方向的瞬时变化率。
高阶偏导包括 $f_{xx},f_{yy},f_{xy},f_{yx}$。若混合偏导在邻域内连续，则
$$
f_{xy}=f_{yx}.
$$
没有相应光滑条件时，交换求导次序未必成立。
偏导数存在不保证连续，更不保证可微。因为坐标轴只是无数靠近方向中的两条。
11.3 全微分：用一个平面统一近似所有方向
若增量满足
$$
\Delta z=A\Delta x+B\Delta y
+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right),
$$
则函数可微，且
$$
dz=f_xdx+f_ydy.
$$
可微意味着曲面在该点附近存在统一的切平面近似。常用充分条件是：偏导数在该点邻域存在并在该点连续。这个条件充分但不必要。
切平面：
$$
z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).
$$
曲面 $F(x,y,z)=0$ 在正则点的法向量为
$$
\nabla F=(F_x,F_y,F_z),
$$
由此可写切平面与法线方程。
11.4 链式法则、全导数与隐函数
若 $z=f(u,v)$，而 $u=u(x,y),v=v(x,y)$，则
$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=f_u\frac{\partial u}{\partial x}
+f_v\frac{\partial v}{\partial x},
$$
对 $y$ 同理。变量依赖关系一复杂，先画树状依赖图，沿每条从输入到输出的路径相乘，再把所有路径相加。
若 $z=f(x,y)$ 且 $x=x(t),y=y(t)$，则全导数
$$
\frac{dz}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}.
$$
若方程 $F(x,y)=0$ 在点附近确定隐函数 $y=y(x)$，并有 $F_y\ne0$，则
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.
$$
多方程组确定多元隐函数时，条件会由相应雅可比行列式非零来保证。雅可比矩阵记录多元映射的局部线性化，雅可比行列式则描述局部面积或体积的缩放与方向变化。
11.5 方向导数与梯度
单位方向 $\mathbf e=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 上的方向导数为
$$
D_{\mathbf e}f=\nabla f\cdot\mathbf e,
$$
其中
$$
\nabla f=(f_x,f_y).
$$
梯度指向函数增长最快的方向，其模长是最大方向导数。梯度还垂直于等值线或等值面。这把一堆方向上的变化压缩进一个向量：知道梯度，就能通过内积恢复任意方向导数。
11.6 多元极值与条件极值
可微函数在内部极值点满足
$$
f_x=f_y=0.
$$
驻点的二阶判别令
$$
A=f_{xx},\quad B=f_{xy},\quad C=f_{yy},\quad D=AC-B^2.
$$
$D>0,A>0$：极小值；
$D>0,A<0$：极大值；
$D<0$：鞍点；
$D=0$：判别失效。
在约束 $g(x,y)=0$ 下求极值，拉格朗日乘数法构造
$$
\nabla f=\lambda\nabla g.
$$
几何上，约束曲线与目标函数等值线在极值处相切，二者法向量平行。它给出候选点，仍需结合边界、端点和实际问题比较。
十二、重积分：把一维累积扩展到区域与空间
12.1 二重积分仍然只有四步
对平面区域 $D$ 分割成许多小块，取样点 $(\xi_i,\eta_i)$，构造
$$
\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i,
$$
当所有小块的直径趋于零，若和趋于唯一极限，则定义
$$
\iint_D f(x,y)d\sigma.
$$
它仍然是“分割—近似—求和—极限”，只是微元从线段长度 $dx$ 变成面积 $d\sigma$。当 $f\ge0$ 时可理解为曲顶柱体体积；若 $f$ 有正有负，结果是带符号的累积。
二重积分具有线性、区域可加、保序、估值和中值性质。真正的计算难点通常不在积分本身，而在把区域准确改写成迭代积分的上下限。
12.2 直角坐标：先切谁，谁在里面
若区域可写成 $x$ 型：
$$
D={(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)},
$$
则
$$
\iint_Df(x,y)d\sigma
=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right]dx.
$$
若写成 $y$ 型，则交换次序。所谓交换积分次序，不是机械互换 $dx,dy$，而是重新画区域、重新投影、重新写边界。区域若不能用一组上下限完整描述，就要分块。
12.3 极坐标：圆形结构换一套更省信息的语言
令
$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
$$
面积元不是简单的 $drd\theta$，而是
$$
d\sigma=r,drd\theta.
$$
多出的 $r$ 是雅可比行列式的绝对值，表示极坐标网格在半径越大处被拉得越长。被积函数或区域出现 $x^2+y^2$、圆、扇形时，极坐标通常能显著降低描述复杂度。
一般变量代换 $(x,y)=(x(u,v),y(u,v))$ 为
$$
dx,dy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|,du,dv
$$
雅可比不能漏，也不能在未检查映射一一性和区域对应时盲目使用。
12.4 三重积分与三类常用坐标
三重积分
$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)dv
$$
把密度在空间区域上累积。直角坐标下 $dv=dxdydz$。
柱坐标：
$$
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
\qquad dv=r,drd\theta dz.
$$
适合绕 $z$ 轴的柱体、锥体、旋转体。
球坐标采用教材常见约定：$\varphi$ 为与正 $z$ 轴夹角，$\theta$ 为方位角，
$$
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
\quad z=\rho\cos\varphi,
$$
$$
dv=\rho^2\sin\varphi,d\rho d\varphi d\theta.
$$
不同教材可能交换 $\theta,\varphi$ 的命名，公式必须跟坐标定义走，不能只背字母。
利用对称性时，要同时检查区域与被积函数：区域关于某坐标面对称，而被积函数关于对应变量为奇函数，积分才为零；为偶函数时才能化为一半区域的两倍。
12.5 重积分的应用统一模板
若密度为 $\rho(x,y,z)$，则：
$$
M=\iiint_\Omega \rho,dv
$$
给出质量；质心坐标由一阶矩除以总质量；转动惯量由“到轴距离的平方 × 质量微元”累积。
二重积分中同理可求平面薄片质量、质心和转动惯量。再一次，题目外壳不同，内部只有三步：确定密度，写出微元贡献，在正确区域累积。
十三、曲线积分与曲面积分：累积对象本身也可以弯曲
重积分在区域或体积上累积，但现实中的对象还可能沿一条曲线分布，或铺在一张曲面上。于是积分域不再平直。
13.1 第一类曲线积分：沿线累积标量
第一类曲线积分
$$
\int_L f(x,y,z)ds
$$
可以表示线密度沿曲线的总质量。它与曲线方向无关，因为弧长元 $ds\ge0$。
若平面曲线参数化为 $x=x(t),y=y(t)$，$\alpha\le t\le\beta$，则
$$
ds=\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt,
$$
$$
\int_L fds
=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))
\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt.
$$
空间曲线再加上 $[z’(t)]^2$。计算结构是：把弯曲路径拉直到参数轴上，并用弧长伸缩因子补偿。
13.2 第二类曲线积分：向量场沿运动方向做了多少功
第二类曲线积分
$$
\int_L Pdx+Qdy+Rdz
=\int_L\mathbf F\cdot d\mathbf r
$$
描述向量场在路径切向上的累积，例如变力做功。它与方向有关：路径反向，积分变号。
参数化后：
$$
\int_\alpha^\beta
[P(x(t),y(t))x’(t)+Q(x(t),y(t))y’(t)]dt.
$$
一类积分累积标量密度，二类积分累积向量场在切向上的投影。二者形式相近，但物理对象和方向性完全不同。
13.3 格林公式：边界环流与区域旋转的对账
若闭区域 $D$ 的正向边界为 $L$，且 $P,Q$ 具有连续偏导数，则
$$
\oint_LPdx+Qdy
=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}
-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.
$$
正向通常指沿边界行进时区域始终在左侧。格林公式把边界上的整体环流，转换为区域内部每一点微小旋转的总和。
它可以用来：
把难算的闭合曲线积分改成二重积分；
把二重积分改成更方便的边界积分；
计算平面区域面积；
判断曲线积分是否与路径无关。
13.4 路径无关、保守场与全微分
在单连通区域内，若 $P,Q$ 有连续偏导，则以下结构通常等价：
$\int_LPdx+Qdy$ 与路径无关；
沿任意闭曲线的积分为零；
存在势函数 $u$，使 $du=Pdx+Qdy$；
$P_y=Q_x$。
“单连通”不能随手删。区域中若有洞，局部旋度为零也可能存在绕洞一圈不为零的环流。局部无旋未必自动推出全局势函数，这又是一次局部模型与整体拓扑之间的断裂。
求势函数时，可先对 $P$ 关于 $x$ 积分，再利用 $u_y=Q$ 确定遗漏的“关于 $y$ 的常数函数”；也可使用折线路径积分。
13.5 第一类曲面积分：沿曲面累积标量
第一类曲面积分
$$
\iint_\Sigma f(x,y,z)dS
$$
与曲面朝向无关，可表示面密度的总质量。
若曲面为 $z=z(x,y)$，其在 $xy$ 平面的投影为 $D_{xy}$，则
$$
dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2},dxdy,
$$
$$
\iint_\Sigma fdS
=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2},dxdy.
$$
根号因子修正了曲面相对于投影平面的面积伸缩。
13.6 第二类曲面积分：向量场穿过曲面的通量
第二类曲面积分
$$
\iint_\Sigma P,dydz+Q,dzdx+R,dxdy
=\iint_\Sigma\mathbf F\cdot\mathbf n,dS
$$
描述向量场穿过定向曲面的通量。曲面反向，积分变号。
若 $z=z(x,y)$ 且取上侧，法向面积向量可写为
$$
(-z_x,-z_y,1)dxdy;
$$
取下侧则整体变号。选择投影面时，通常看曲面方程能否方便地解出相应变量。
13.7 高斯公式与斯托克斯公式：内部与边界的两次统一
对封闭曲面 $\Sigma$ 的外侧，若区域为 $\Omega$，则高斯公式为
$$
\iint_\Sigma P,dy,dz+Q,dz,dx+R,dx,dy
\iiint_\Omega
\left(P_x+Q_y+R_z\right),dv.
$$
其中
$$
\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z
$$
称为散度，描述单位体积附近的净流出倾向。高斯公式说：封闭边界的总通量，等于内部所有微小源汇的总和。
斯托克斯公式为
$$
\oint_{\partial\Sigma}\mathbf F\cdot d\mathbf r
=\iint_\Sigma(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n,dS.
$$
其中旋度 $\nabla\times\mathbf F$ 描述局部旋转。边界曲线方向与曲面法向满足右手规则。
格林公式可以看成斯托克斯公式在平面上的特例。三者共享同一个结构：
一个区域内部“变化的总量”，等于它在边界上留下的净效果。
微积分发展到这里，导数与积分的关系已经不只是牛顿—莱布尼茨公式的一维版本，而是“内部—边界”之间更一般的对偶。
十四、无穷级数：无限叠加到底能不能稳定
14.1 级数研究的是部分和，不是通项
无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
$$
是否收敛，定义为部分和数列
$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k
$$
是否存在有限极限。
若级数收敛，则必有 $a_n\to0$；但 $a_n\to0$ 远远不够。例如调和级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
$$
的通项趋零，部分和仍然发散。每一份新增量都很小，不代表累计总量有上限。
两个基准模型：
$$
\sum_{n=0}^{\infty}q^n
\begin{cases}
\text{收敛到 }\dfrac1{1-q},&|q|<1,\
\text{发散},&|q|\ge1,
\end{cases}
$$
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}
\begin{cases}
\text{收敛},&p>1,\
\text{发散},&p\le1.
\end{cases}
$$
14.2 正项级数判别法
正项级数的部分和单调增加，因此收敛等价于部分和有上界。常用工具：
比较判别法：若 $0\le a_n\le b_n$，大者收敛则小者收敛；小者发散则大者发散。
极限比较判别法：若 $a_n,b_n>0$ 且
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c,
\qquad 0<c<\infty,
$$
则两级数同敛散。
比值判别法：若
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho,
$$
则 $\rho<1$ 时收敛，$\rho>1$ 或为无穷时发散，$\rho=1$ 时失效。它适合含阶乘、指数乘积的通项。
根值判别法：若
$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho,
$$
结论同上，适合整体带 $n$ 次幂的通项。
积分判别法：正、连续、单调减少的 $f$ 满足 $a_n=f(n)$ 时，$\sum a_n$ 与 $\int f(x)dx$ 同敛散。
选择判别法的实质，是给陌生级数找一个已知尺度：多项式衰减找 $p$ 级数，指数或阶乘找比值/根值，含对数的缓慢衰减常用积分或比较。
14.3 交错级数、绝对收敛与条件收敛
交错级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
$$
若 $a_n$ 单调减少且趋于零，则由莱布尼茨判别法收敛，余项绝对值不超过下一项。
若
$$
\sum|a_n|
$$
收敛，则原级数绝对收敛；绝对收敛必收敛。原级数收敛但绝对值级数发散，称条件收敛。条件收敛级数对排列顺序敏感，重排甚至可能改变和或破坏收敛；绝对收敛则更加稳定。
14.4 幂级数：把函数编码成无限多项式
幂级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
$$
存在收敛半径 $R$：
- $|x-x_0|<R$ 时绝对收敛；
- $|x-x_0|>R$ 时发散；
- 两个端点必须分别代回原级数判断。
半径常由比值法或根值法得到。收敛区间内部，幂级数可以逐项求导、逐项积分，且收敛半径不变；但端点状态可能改变。
泰勒级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$
由函数在一点的全部导数生成。但函数有任意阶导数，不自动保证它等于自己的泰勒级数；还需要余项趋于零。这里要区分“泰勒公式的有限阶近似”和“泰勒级数的无限展开”。
把函数展开成幂级数的常见方法：
- 直接使用已知麦克劳林展开；
- 通过变量代换、四则运算拼装；
- 对已知级数逐项求导或积分；
- 先作部分分式分解，再套几何级数。
幂级数求和则反向操作：把待求级数识别为某个已知函数级数的变形，再通过求导、积分和代换还原。
14.5 傅里叶级数：不用多项式，改用周期与频率作基底
对周期为 $2l$ 的函数，在适当条件下可以展开为
$$
f(x)\sim\frac{a_0}{2}
+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}
+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right),
$$
其中
$$
a_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,
$$
$$
b_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx.
$$
奇函数只剩正弦项，偶函数只剩余弦项。若只给 $[0,l]$ 上的函数，可以作奇延拓得到正弦级数，作偶延拓得到余弦级数。
在满足狄利克雷条件等常见假设时，傅里叶级数在连续点收敛到 $f(x)$，在跳跃点收敛到左右极限的平均值：
$$
\frac{f(x^-)+f(x^+)}2.
$$
泰勒展开用局部导数把函数编码成幂，傅里叶展开用全区间内积把函数编码成不同频率。它们都是选择一组简单基底，再用系数记录复杂对象中含有多少相应成分。一个偏局部，一个偏全局；一个适合解析结构，一个适合周期结构。
十五、微分方程：不直接描述对象，只规定它怎样变化
15.1 从函数模型到演化规律
含未知函数及其导数的方程称为微分方程。最高阶导数的阶数是方程的阶。通解通常包含与阶数相同数量的独立任意常数；给定初始条件后确定的解称特解。
微分方程做了一次更激进的压缩：我们不知道 $y(t)$ 的完整形状，但知道它的变化率如何依赖当前状态与输入。求解，就是从局部演化规则重建整个轨迹。
15.2 一阶微分方程
可分离变量方程：
$$
\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)
$$
整理为
$$
\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx
$$
后两边积分。除以 $h(y)$ 前要检查 $h(y)=0$ 是否对应被漏掉的常值解。
齐次型方程：
$$
\frac{dy}{dx}=F\left(\frac yx\right)
$$
令 $u=y/x$，即 $y=ux$、$y’=u+xu’$，化为可分离变量方程。
一阶线性方程：
$$
y’+P(x)y=Q(x).
$$
积分因子为
$$
\mu(x)=e^{\int P(x)dx},
$$
从而
$$
y=e^{-\int Pdx}
\left(\int Qe^{\int Pdx}dx+C\right).
$$
伯努利方程：
$$
y’+P(x)y=Q(x)y^n,
\qquad n\ne0,1,
$$
令 $z=y^{1-n}$，化为一阶线性方程。同样要检查变换是否漏掉 $y=0$ 等解。
全微分方程：
$$
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.
$$
若 $M_y=N_x$ 且区域条件合适，则左端为某个势函数 $u(x,y)$ 的全微分，解为 $u(x,y)=C$。
15.3 可降阶的高阶方程
若方程不显含 $y$，如
$$
y’’=f(x,y’),
$$
令 $p=y’$，把二阶降为关于 $p(x)$ 的一阶方程。
若方程不显含 $x$，如
$$
y’’=f(y,y’),
$$
令 $p(y)=y’$，利用
$$
y’’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}
$$
降阶。
降阶的认知本质，是利用缺失变量所代表的对称性，删去一个不必要的自由度。
15.4 线性微分方程的叠加结构
$n$ 阶线性方程写作
$$
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y=f(x).
$$
齐次方程右端为零。线性意味着齐次解可以叠加；非齐次方程的通解为
$$
y=y_h+y_p,
$$
即齐次通解加一个非齐次特解。
对二阶常系数齐次方程
$$
y’’+py’+qy=0,
$$
设 $y=e^{rx}$ 得特征方程
$$
r^2+pr+q=0.
$$
两个不等实根 $r_1,r_2$：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；
二重实根 $r$：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$；
共轭复根 $\alpha\pm i\beta$：
$$
y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x).
$$
特征根把微分运算转成代数方程。指数函数在求导下只发生倍数变化，因此它是线性常系数微分算子的天然特征函数。
15.5 非齐次特解、欧拉方程与方程组
当右端为 $e^{\lambda x}P_m(x)$ 或 $e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]$ 时，可用待定系数法设特解。若设出的形式与齐次解重复，需要乘以足够次幂的 $x$ 解除共振。
欧拉方程
$$
x^2y’’+pxy’+qy=f(x)
$$
可令 $x=e^t$，把变系数结构化为常系数方程。
常系数线性微分方程组可以消元，也可写成矩阵形式
$$
\mathbf x’=A\mathbf x+mathbf f(t).
$$
特征值控制系统各模态的增长、衰减与振荡。到了这里，高数和线性代数、信号与系统、自动控制开始接上：同一个“把微分算子对角化”的愿望，会在不同课程里换名字反复出现。
15.6 建模题真正缺的不是求解公式
增长、衰减、冷却、振动等模型通常遵循：
选择状态变量；
找出微小时间内的守恒或变化关系；
写成微分方程；
加入初始或边界条件；
求解并检查量纲、符号与长期行为。
算出一个函数不代表模型完成。还要问：解是否在定义域内，是否满足初值，长期趋势是否符合现实，参数改变会造成什么，原先忽略的因素何时开始反过来顶模型。
十六、把全部内容重新压回去
现在可以把高数的生成逻辑压成一张表。
| 模块 | 它补上的缺口 | 核心对象 | 最重要的边界意识 |
|---|---|---|---|
| 函数 | 现实关系无法直接处理 | 输入到输出的对应 | 定义域与规则共同决定函数 |
| 数列 | 连续模型不适合离散状态 | 整数索引的函数 | 通项趋零不等于级数收敛 |
| 极限 | 到不了的点和无穷过程无法讨论 | 趋近中的稳定值 | 极限看邻域，不看点值 |
| 连续 | 趋势与实际取值可能断裂 | 局部稳定性 | 连续不等于可导 |
| 导数 | 静态对应缺少变化速度 | 局部变化率 | 可导必连续，反之不成立 |
| 微分 | 曲线局部仍然复杂 | 最佳线性主部 | 多元偏导存在不等于可微 |
| 中值定理 | 局部导数无法直接说明整体 | 局部—整体桥梁 | 连续、可导、端点条件逐项核对 |
| 不定积分 | 已知变化率，未知原对象 | 原函数族 | 别漏任意常数与特殊解 |
| 定积分 | 无数局部贡献需要汇总 | 黎曼和极限 | 面积要处理符号，反常积分先谈收敛 |
| 空间解析几何 | 多元对象缺少表示语言 | 向量、平面、曲面 | 方程形式服从几何对象 |
| 多元微分 | 一个输出受多个输入影响 | 偏导、梯度、全微分 | 局部各方向必须统一受控 |
| 重积分 | 累积域从线扩展到面和体 | 面积元、体积元 | 换元必须带雅可比并重写区域 |
| 曲线/曲面积分 | 累积域本身是弯曲的 | 环流、通量 | 一类无方向，二类有定向 |
| 级数 | 无限次相加未必稳定 | 部分和、函数展开 | 端点单查，绝对与条件收敛不同 |
| 微分方程 | 不知道对象，只知道变化律 | 未知函数及其导数 | 解只是模型输出，还要回到条件检验 |
再压一层，就是：
$$
\boxed{
\text{关系}
\to\text{趋近}
\to\text{局部变化}
\to\text{整体累积}
\to\text{多维推广}
\to\text{无限叠加与演化规律}
}
$$
还有一条暗线从头贯穿到尾：
$$
\boxed{
\text{选取变量}
\to\text{建立模型}
\to\text{在条件内运算}
\to\text{让现实或题目检验}
\to\text{修正模型}
}
$$
之前我把高数想成“函数的模型建立起来以后，再加导数和积分”。现在看还是想窄了。它真正反复练习的是两种互逆动作：把整体拆成无限小的局部，再把无限小的局部重新累积成整体；把复杂对象投影到一个更好处理的坐标或基底，再在那个表示里计算。
这就是为什么极限不是第一章学完就扔掉的工具。导数是差商的极限，定积分是和式的极限，级数是部分和的极限，多元连续和反常积分仍然在问极限。整栋楼表面上不断换房间，承重结构一直没换。
不过话继续拐回来。能把这张图写出来，只能说明我现在能压缩它。能不能展开，要看定理条件能不能逐条说清，公式能不能自己推，题目换一层皮还能不能认出来。至于能不能在考场上运行，那又是另一套关于“行”的问题。
我现在甚至有一点“这部分好像也不过如此”的感觉。一般这种感觉出现的时候，不是我已经学扎实了，是我刚好还没撞到能把模型顶回来的题。
所以地图先画到这里，赶紧回去做题。