雷达信号处理：从零开始学习指南

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阅读说明

这类教程的目标不是替代教材，也不是把每个证明都写到最细，而是先把一门课或一个方向的主干搭起来：知道它研究什么、常见概念怎么连、公式大概在解决什么问题，以及后续应该往哪里补。

雷达信号处理

从零开始完整学习指南

本指南基于《雷达信号处理》课程课件整理

面向对象：零基础 / 弱基础 EE 学生
内容范围：第1章雷达系统导论 ~ 第10章代表性雷达介绍
更新时间：2026年6月

第1章雷达系统导论

本章导读：你有没有好奇过，蝙蝠在漆黑的洞穴里为什么不会撞到墙上？为什么机场的塔台能知道几十公里外有一架飞机正在靠近？为什么气象局能预测台风的位置？这些问题的答案都指向同一个技术——雷达。本章将从零开始，带你走进雷达的世界。

1.1 什么是雷达

1.1.1 从蝙蝠说起

想象一下：你蒙上眼睛走进一个完全黑暗的房间，你能知道前面有一堵墙吗？不能。但蝙蝠可以。

蝙蝠是怎么做到的？它从嘴里发出一声高频尖叫（人耳听不到），这声尖叫在空中传播，撞到墙壁或飞蛾后反弹回来，蝙蝠用耳朵接收回波，根据回声回来的时间判断前方物体的距离和方位。

核心思想：发一个”声音”出去，听它反弹回来的”回声”，就知道目标在哪里。

雷达（RADAR）的工作原理和蝙蝠一模一样。只不过：

蝙蝠用的是声波，雷达用的是 电磁波（无线电波）
蝙蝠的”叫声”频率在几万赫兹，雷达的”叫声”频率在几百万到几百亿赫兹
蝙蝠能”听”几十米，雷达能”看”几千公里

1.1.2 RADAR 这个名字怎么来的？

RADAR 是 RAdio Detection And Ranging 的缩写，中文意为”无线电探测与测距”。

拆开来看：

单词	含义	大白话
Radio	无线电	用电磁波，不是用声波
Detection	探测	发现有没有目标
And	和	两个功能一起做
Ranging	测距	测量目标有多远

1.1.3 雷达能做什么？

雷达的三大基本能力：

探测（Detection）：有没有东西在那里？
测距（Ranging）：那东西离我多远？
测速（Velocity）：那东西移动得多快？

高级雷达还能做更多：成像（合成孔径雷达SAR）、识别目标类型（是战斗机还是客机）、跟踪目标轨迹等。

1.1.4 生活中的雷达

你以为雷达只在军事领域？其实它无处不在：

机场空管：监视飞机位置，防止相撞
气象雷达：探测降雨、台风的位置和强度
汽车雷达：倒车雷达、自适应巡航（毫米波雷达）
警用测速：测你车开多快（多普勒雷达）
遥感卫星：合成孔径雷达（SAR），全天候观测地球

一句话总结：雷达 = 主动发出电磁波 + 接收回波 + 从中提取目标信息。

1.2 雷达发展史

学习历史不是为了背年份，而是理解：技术是在解决什么问题的过程中诞生的？

1.2.1 电磁波的发现（前提条件）

在雷达出现之前，人类必须首先知道电磁波的存在。

关键人物时间线：

年份	人物	贡献
1831	法拉第	发现电磁感应——变化的磁场产生电场
1865	麦克斯韦	用方程组预言电磁波的存在（公式之美！）
1887	赫兹	首次用实验证实电磁波的存在——这是雷达的起点
1897	马可尼	实现跨大西洋无线电通信

重点：赫兹的实验被认为是”雷达的诞生前夜”。他证明了电磁波可以发射、传播、被反射和接收——这正是雷达的四个基本步骤。

1.2.2 雷达的”史前时期”（1904-1934）

早在”雷达”这个词出现之前，就有人尝试用无线电波探测物体：

1904年，德国工程师 Hulsmeyer 发明了”telemobiloscope”（远程移动物体观察仪），用无线电波探测河上的船只。这实际上就是世界上第一个雷达原型。但当时的技术太粗糙，没有引起重视。
1922年，美国海军研究实验室（NRL）的 Taylor 和 Young 在测试无线电通信时，发现当船在发射机和接收机之间穿过时，信号会发生变化。他们意识到”可以用无线电波探测船舰”。
1925年，Breit 和 Tuve 用脉冲无线电波测量电离层高度——这本质上就是雷达测距。

1.2.3 真正的雷达诞生：Chain Home（1935-1939）

这是雷达史上最重要的转折点。

背景：1930年代，欧洲局势紧张。英国担心德国轰炸机的威胁，急需一种能提前发现敌机的方法。

关键在于一个人：Robert Watson-Watt（罗伯特·沃特森-瓦特）。

1935年2月，Watson-Watt 向英国空军递交了一份著名的备忘录，标题是《用无线电波探测飞机》。他论证了用无线电波探测飞机的可行性。

Daventry 实验（1935年2月26日）：在一个叫 Daventry 的地方，Watson-Watt 用 BBC 的短波广播发射机（49米波长）作为信号源，成功探测到了8公里外的一架 Heyford 轰炸机。这是人类历史上第一次用雷达探测到飞机。

Chain Home（本土链）：

1936年，Watson-Watt 开始主持建设 Chain Home 雷达系统
到1939年二战爆发时，英国东海岸已经部署了20个雷达站
Chain Home 的工作频率：22-55 MHz（属于高频HF/VHF波段）
探测距离：约200公里
天线高度：81.5米（相当于30层楼高）

Chain Home 为什么重要？
在不列颠之战（Battle of Britain）中，Chain Home 让英国空军能提前20分钟知道德国飞机的来袭方向、距离和数量。这使得英国可以用有限的战斗机资源最有效地拦截敌机。丘吉尔说：”我们在战争中所依赖的雷达，是从 Watt 的头脑中诞生的。”

1.2.4 二战期间的大发展（1939-1945）

战争是技术发展的催化剂。二战期间，雷达技术经历了爆发式发展：

美国方面：

1937年，Russell 和 Sigurd Varian 兄弟发明了 速调管（Klystron），可以在微波频段产生大功率信号
SCR-268（1938年）：美国最早的军用雷达，用于引导探照灯
SCR-270/271（1940年）：远程预警雷达。正是 SCR-270 在 1941年12月7日珍珠港袭击前 探测到了日本飞机（可惜当时被误判为友机）

MIT 辐射实验室（Rad Lab）：

1940年成立，10年运营期间，共研制了 100多种雷达系统
发明了 微波雷达（波长10厘米以下的 X波段）
发明了 动目标显示（MTI） 技术，能区分运动和静止目标

其他国家：

德国也有雷达技术（Freya、Würzburg雷达），但过度自信导致没有像英国那样建立完整的预警网络

1.2.5 战后到现代（1950年代至今）

1950年代：

合成孔径雷达（SAR） 概念提出——让雷达能”成像”，获得类似照片的高分辨率图像
雷达成为防空系统的核心

1960-1970年代：

相控阵雷达 出现——不再需要机械转动天线，用电子的方式控制波束方向
代表：美国 AN/FPS-85 相控阵雷达

1980-1990年代：

数字信号处理（DSP） 和 FPGA 引入雷达，信号处理能力大幅提升
脉冲多普勒雷达（PD雷达） 成熟，能在强杂波中检测运动目标

2000年代至今：

有源电子扫描阵列（AESA）——每个天线单元都有独立的发射/接收模块
认知雷达——能根据环境自适应调整工作参数
太赫兹雷达、量子雷达 等前沿方向

1.2.6 中国雷达发展简史

年份	里程碑
1952	南京14所成立（中国雷达工业的摇篮）
1953	研制出中国第一部雷达
1964	7010雷达——中国第一部大型相控阵预警雷达（探测距离3000km）
1977-1987	4部相控阵雷达部署
1995至今	一系列新型雷达装备部队

发展史给我们的启示：雷达技术始终在”看得更远、看得更清、看得更快”这三个方向上不断进步。这个趋势到今天也没有改变。

1.3 雷达基本原理

现在进入核心部分。雷达是怎么工作的？我们一步步拆解。

1.3.1 测距（Ranging）—— 雷达最基础的能力

生活类比：
你在山谷里大喊一声”啊——“，过一会儿听到回声。如果你知道声音的速度（约340米/秒），又测出了喊出去到听到回声的时间差，就能算出身后的山有多远。

比如：2秒后听到回声，声音来回走了 340m/s x 2s = 680米，所以山离你 340米。

雷达测距的原理完全一样：

$$
R = \frac{c \cdot T}{2}
$$

其中：

符号	含义	单位	说明
$R$	目标距离	米（m）	雷达天线到目标的距离
$c$	光速	米/秒（m/s）	电磁波传播速度，约 $3 \times 10^8$ m/s
$T$	往返时间	秒（s）	从发射到接收到回波的时间差
除以2	往返折半	—	电磁波走了”去+回”两倍距离

思考题：如果一个雷达在发射脉冲后 100 微秒（$100 \times 10^{-6}$ 秒）收到了回波，目标距离是多少？

解：
$$
R = \frac{3 \times 10^8 \times 100 \times 10^{-6}}{2} = \frac{3 \times 10^4}{2} = 15000 \text{米} = 15 \text{公里}
$$

一个重要概念：最大不模糊距离

雷达发射的是脉冲串（不是连续波）。如果目标太远，回波在下一个脉冲发射之后才回来，雷达就分不清这个回波属于哪个脉冲了——这就产生了距离模糊。

最大不模糊距离由**脉冲重复周期（PRI）**决定：

$$
R_{\max} = \frac{c \cdot \text{PRI}}{2} = \frac{c}{2 \cdot \text{PRF}}
$$

其中 PRF（Pulse Repetition Frequency） 是脉冲重复频率，即每秒钟发射多少个脉冲。

举例：如果 PRF = 1000 Hz（每秒1000个脉冲），则 PRI = 1ms
$$R_{\max} = \frac{3 \times 10^8 \times 0.001}{2} = 150 \text{公里}$$
也就是说，150公里以外的目标会产生距离模糊。

这就像一个接力赛——你必须在下一棒出发前确认上一棒的成绩，否则就乱套了。

1.3.2 测速（Doppler效应）—— 运动目标的信息提取

生活类比：
你站在路边，一辆救护车鸣笛驶过。当它朝你开来时，笛声听起来”尖”（音调高）；当它远离你时，笛声听起来”沉”（音调低）。这就是多普勒效应。

原理：
当波源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率会发生变化：

相互靠近 → 频率升高（波长变短）
相互远离 → 频率降低（波长变长）

雷达利用这个效应测速：

$$
f_d = \frac{2v}{\lambda} \cos\theta
$$

其中：

符号	含义	说明
$f_d$	多普勒频移	接收信号频率与发射信号频率之差（Hz）
$v$	目标速度	目标相对于雷达的径向速度（m/s）
$\lambda$	波长	雷达发射电磁波的波长（m）
$\theta$	夹角	目标运动方向与雷达视线方向之间的夹角

当目标正对着雷达运动（$\theta = 0^\circ$）时：

$$
f_d = \frac{2v}{\lambda}
$$

举例：X波段雷达频率10 GHz（波长3厘米），探测到一辆以72 km/h（20 m/s）速度驶来的汽车：

$$
f_d = \frac{2 \times 20}{0.03} \approx 1333 \text{ Hz}
$$

雷达接收到的信号频率比发射频率高了1333 Hz。通过测量这个小小的频率差，雷达就能算出车速。

重要区别：

测距靠的是 脉冲飞行时间（时间域）

测速靠的是 多普勒频移（频率域）

这两个信息是”正交”的，可以同时获取

1.3.3 测角 —— 目标在哪里？

知道了距离和速度，还不够。我们还得知道目标在哪个方向上。

雷达测角的基本原理：天线方向图

雷达天线不是全方向均匀发射能量的。它像手电筒一样，有一个主波束指向某个方向。在这个方向上，发射能量最强，接收灵敏度最高。

当目标在主波束中心线上时，回波最强
当目标偏离主波束时，回波减弱

通过旋转天线（机械扫描）或用电子方式控制波束方向（相控阵扫描），雷达可以找到回波最强的角度，从而确定目标的方位角和俯仰角。

几种测角方法：

顺序波瓣法：天线在不同位置发射/接收，比较回波强度变化
圆锥扫描法：波束绕轴线做圆锥运动，根据回波调制判断目标偏离
单脉冲法：一次发射，用多个接收通道同时比较——这是最精确的方法

测角精度取决于天线波束宽度：

波束越窄，测角越精确
天线尺寸越大（相对于波长），波束越窄
公式近似：$$\theta_{3dB} \approx \frac{\lambda}{D}$$（D为天线口径尺寸）

1.3.4 RCS（雷达散射截面积）—— 目标”显眼”程度

生活类比：
同样是扔一颗石子到水里，一艘航母引起的水波远比一只鸭子引起的大。雷达回波也一样——不同目标”反射”电磁波的能力不同。

RCS（Radar Cross Section） 是衡量目标反射电磁波能力的物理量，单位是平方米（$\text{m}^2$），用符号 $\sigma$ 表示。

影响RCS的因素：

因素	影响
目标尺寸	越大越容易被探测到
目标形状	平面/直角反射强，曲面/隐身设计反射弱
材料	金属反射强，吸波材料反射弱
视角	从不同角度看，RCS可以相差上千倍
频率	同一目标对不同频率的雷达，RCS不同

典型RCS值：

目标	近似RCS	备注
大型客机（Boeing 747）	100 $\text{m}^2$	很容易被发现
战斗机（F-16）	3-5 $\text{m}^2$	中等
隐身战机（F-22）	约0.01 $\text{m}^2$	相当于一只鸟
隐身战机（F-35）	约0.001 $\text{m}^2$	非常难探测
鸟	0.01 $\text{m}^2$
昆虫	0.00001 $\text{m}^2$

隐身技术本质上就是减小RCS，通过外形设计和吸波材料，让雷达回波大幅减弱，从而压缩雷达的探测距离。

1.3.5 雷达方程 —— 一切设计的起点

雷达工程师用一个公式来估算雷达能探测多远：

$$
P_r = \frac{P_t G_t A_e \sigma}{(4\pi)^2 R^4}
$$

或者更常用的形式：

$$
R_{\max} = \left[ \frac{P_t G_t A_e \sigma}{(4\pi)^2 P_{r,\min}} \right]^{1/4}
$$

其中：

符号	含义
$P_t$	发射功率
$G_t$	天线增益
$A_e$	天线有效孔径面积
$\sigma$	目标RCS
$R$	目标距离
$P_{r,\min}$	接收机最小可检测信号功率

注意：距离在四次方根下——这意味着要使探测距离翻倍，需要发射功率提高到 16倍！这就是为什么雷达需要巨大的发射功率（有些雷达峰值功率达到兆瓦级）。

1.4 雷达系统组成

一台完整的雷达，就像一个人体系统。我们来看看它由哪些”器官”组成：

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    雷达系统框图                          │
│                                                         │
│  天线←→收发开关←→发射机                                │
│    ↓              ↑                                      │
│    接收机←→信号处理←→数据处理←→显示/控制                │
│                      ↑      ↑                            │
│                      └──定时器──┘                        │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘

1.4.1 发射机（Transmitter）—— 雷达的”嗓子”

功能：产生大功率的射频脉冲信号，送到天线发射出去。

关键要求：

高功率：探测距离需要，峰值功率从几百瓦到几兆瓦
高稳定性：频率要精确稳定
合适的脉冲宽度：决定了距离分辨力
合适的PRF：决定了最大不模糊距离和多普勒测量能力

两种主要类型：

类型	原理	特点	典型功率
振荡式	直接用振荡器（磁控管）产生大功率脉冲	结构简单、便宜，但频率稳定度差	可达MW级
放大式	先生成小信号，再用放大器（速调管、行波管）放大	频率稳定度高，可相干处理	可达MW级

脉冲参数：

发射脉冲波形：
           __
          |  |_________
          |tp|         |
          |←→|         |
          |            |
          |←── PRI ──→|
          |            |
          |←── PRF=1/PRI ──→

脉冲宽度（tp）：脉冲持续的时间，典型值 0.1~100 微秒
脉冲重复周期（PRI）：两个脉冲之间的时间间隔
占空比（Duty Cycle）：$D = \frac{t_p}{\text{PRI}}$，典型值 0.1%~50%

1.4.2 收发开关（Duplexer/T/R Switch）

功能：让发射机和接收机共用同一副天线。

为什么需要它？

发射时：将天线连接到发射机，保护接收机不被大功率烧毁
接收时：将天线连接到接收机，不让发射信号漏入接收通道

生活类比：就像旋转门——一个人进来的时候不能同时出去。发射和接收是分时进行的（脉冲雷达）。

1.4.3 天线（Antenna）—— 雷达的”眼睛”

功能：将发射机的射频能量集中到特定方向（发射），并收集回波能量（接收）。

天线的主要参数：

天线方向图（Pattern）：描述天线在不同方向上的辐射/接收能力
- 主瓣（Mainlobe）：能量最集中的方向
- 副瓣（Sidelobe）：不需要的方向上的辐射，越少越好
- 零点（Null）：几乎不辐射的方向
增益（Gain, G）：天线将能量集中的能力
- 单位：dBi（相对于理想点源）
- 增益越高，波束越窄，看得越远
波束宽度（Beamwidth）：主瓣的半功率宽度
- 越窄，测角精度越高，角分辨力越好

常见天线类型：

天线类型	特点	应用场景
抛物面天线	像一个”锅”，把电磁波聚焦	跟踪雷达、卫星通信
裂缝波导天线	在波导上开一系列缝隙	机场监视雷达
微带天线	薄片结构，成本低	汽车雷达、消费电子
相控阵天线	由大量小天线单元组成，电子扫描	宙斯盾雷达、F-35雷达

1.4.4 接收机（Receiver）—— 雷达的”耳朵”

功能：将天线收到的微弱回波信号放大、变频、滤波，变成信号处理机能处理的信号。

超外差接收机——这是最经典的接收机结构，由埃德温·阿姆斯特朗在1918年发明。

基本原理：

天线接收到的射频信号（高频）经过 低噪声放大器（LNA） 放大
与本振（LO） 信号混频，下变频到中频（IF）
中频信号放大、滤波后，再送入ADC数字化

为什么用超外差结构？

在高频做放大太难（不稳定、容易自激）
在中频做放大更容易，增益高、选择性好
通过选择不同的本振频率，可以接收不同频率的信号

1.4.5 信号处理机（Signal Processor）—— 雷达的”大脑”

信号处理机是雷达系统的核心，负责从回波中提取目标信息。它通常由 FPGA、DSP 或 GPU 实现。

主要处理任务：

脉冲压缩：发射宽脉冲（能量大）、接收后用匹配滤波压缩成窄脉冲（分辨力高）——解决”既要能量大又要分辨力高”的矛盾
MTI/MTD（动目标显示/检测）：利用多普勒效应，滤除静止杂波，只保留运动目标
CFAR（恒虚警率检测）：在变化的噪声/杂波背景下，自动调整检测门限，保持恒定的虚警概率
目标检测：将信号与门限比较，判断是否有目标
参数估计：计算目标的距离、速度、角度

1.4.6 显示器/控制台（Display & Control）

将处理后的目标信息以图形化方式显示给操作员。

经典显示模式：

模式	全称	显示方式	像什么？
A型	Range-Intensity	横轴距离，纵轴回波强度	像心电图
PPI型	Plan Position Indicator	雷达在中心，目标显示在地图上	像360度全景地图
B型	Range-Azimuth	横轴方位，纵轴距离	像矩形的距离-方位图

1.5 雷达分类

1.5.1 按工作波段分类

雷达常用的频段（IEEE标准）：

波段	频率范围	波长	主要用途
HF	3-30 MHz	10-100 m	超视距雷达（OTH）
VHF	30-300 MHz	1-10 m	早期预警雷达
UHF	300-1000 MHz	0.3-1 m	远程监视
L	1-2 GHz	15-30 cm	远程监视、空中交通管制
S	2-4 GHz	7.5-15 cm	中程监视、气象雷达
C	4-8 GHz	3.75-7.5 cm	气象雷达、卫星通信
X	8-12 GHz	2.5-3.75 cm	火控雷达、海事雷达、警用测速
Ku	12-18 GHz	1.67-2.5 cm	卫星通信
K	18-27 GHz	1.11-1.67 cm	汽车雷达
Ka	27-40 GHz	0.75-1.11 cm	毫米波雷达、成像雷达
毫米波	40-300 GHz	1-7.5 mm	高分辨成像、车载雷达

规律：频率越高（波长越短），在相同天线尺寸下波束越窄、分辨力越高，但大气衰减越大，探测距离越短。

1.5.2 按用途分类

类别	用途	代表
预警雷达	大范围搜索，发现远距离目标	Chain Home、AN/FPS-115
火控雷达	精确跟踪目标，引导武器	AN/APG-81（F-35雷达）
监视雷达	监视空域/海面交通	机场空管雷达
气象雷达	探测降雨、风场	WSR-88D（美国气象雷达网）
成像雷达	获取目标的高分辨图像	SAR（合成孔径雷达）
探地雷达	探测地下结构	GPR（考古、工程检测）
穿墙雷达	探测墙后的人和物体	反恐、救援

1.5.3 按发射波形分类

连续波雷达（CW）：连续发射，依靠多普勒效应测速，不能测距（或测距很困难）
脉冲雷达（Pulsed）：发射脉冲串，通过测量回波延迟测距——这是最常见的类型
调频连续波雷达（FMCW）：频率连续变化，同时测距测速——汽车雷达多用此方式

1.5.4 按天线扫描方式分类

机械扫描雷达：天线机械旋转/摆动，结构简单，但扫描速度受限
相控阵雷达：电子控制波束指向，几乎无惯性，可同时跟踪多个目标
数字波束形成雷达（DBF）：在数字域形成多个波束，灵活性最强

举个具体的例子：AN/SPS-49 是美国海军的一种L波段远程对空搜索雷达，探测距离约460公里，天线机械旋转，每分钟旋转6圈——这是典型的”机械扫描+搜索雷达”。

本章总结

核心要点

雷达的本质：发电磁波 → 收回波 → 提取信息。和蝙蝠回声定位是一个道理。
雷达的三大基本测量能力：
- 测距：$R = cT/2$（利用电磁波往返时间）
- 测速：$f_d = 2v/\lambda$（利用多普勒效应）
- 测角：（利用天线方向图）
影响雷达探测能力的关键因素：
- 发射功率（越大越好）
- 天线尺寸（越大越好）
- 目标RCS（越大越容易被发现）
- 噪声和干扰（越少越好）
雷达系统的八大组成部分：发射机、接收机、天线、收发开关、信号处理机、数据处理器、显示器、电源/伺服。
频率选择是雷达设计中最重要的决策之一——它决定了波束宽度、探测距离、分辨力、大气衰减等几乎所有性能指标。

重要公式速查

公式	意义
$R = cT/2$	测距公式
$f_d = 2v/\lambda$	多普勒频移（径向）
$R_{\max} = c/(2 \cdot \text{PRF})$	最大不模糊距离
$P_r = P_t G_t A_e \sigma / [(4\pi)^2 R^4]$	雷达方程
$D = t_p/\text{PRI}$	占空比

本章计算练习题

题1：雷达测距

一部雷达发射电磁波后，在 $t = 200\ \mu\text{s}$ 后收到回波。已知电磁波速度 $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$，求目标距离 $R$。

点击查看解答

$$R = \frac{c \cdot t}{2} = \frac{3 \times 10^8 \times 200 \times 10^{-6}}{2} = 30000\ \text{m} = 30\ \text{km}$$

题2：最大不模糊距离

一部雷达的脉冲重复频率 PRF = 800 Hz，求该雷达的最大不模糊距离 $R_{\max}$。如果目标距离为 250 km，回波会出现在什么位置？

点击查看解答

$$R_{\max} = \frac{c}{2 \cdot \text{PRF}} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 800} = 187500\ \text{m} \approx 187.5\ \text{km}$$

250 km 大于最大不模糊距离，回波会发生距离模糊。实际显示的位置为：
$$R_{\text{显示}} = 250 - 187.5 = 62.5\ \text{km}$$

即一个 250 km 的目标会被误认为在 62.5 km 处。

题3：占空比与平均功率

一部雷达发射脉宽 $t_p = 1\ \mu\text{s}$，PRI = 1 ms，峰值功率 $P_t = 1\ \text{MW}$。计算：(1) 占空比 $D$；(2) 平均发射功率 $P_{\text{avg}}$。

点击查看解答

(1) 占空比：

$$D = \frac{t_p}{\text{PRI}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-3}} = 0.001 = 0.1%$$

(2) 平均功率：

$$P_{\text{avg}} = P_t \times D = 1 \times 10^6 \times 0.001 = 1000\ \text{W} = 1\ \text{kW}$$

题4：多普勒频移

一架飞机以 $v = 250\ \text{m/s}$ 的径向速度朝向雷达飞行，雷达工作频率 $f_c = 3\ \text{GHz}$。求多普勒频移 $f_d$。

点击查看解答

波长：$\lambda = \frac{c}{f_c} = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^9} = 0.1\ \text{m}$

多普勒频移：$f_d = \frac{2v}{\lambda} = \frac{2 \times 250}{0.1} = 5000\ \text{Hz} = 5\ \text{kHz}$

下一章预告：我们知道了雷达的基本原理和系统组成，但雷达信号是如何被处理和分析的？这需要用到离散信号处理、傅里叶变换、数字滤波器等理论工具。下一章我们将进入信号处理的世界。

第2章信号处理相关理论

本章导读：雷达发射的是电磁波，接收的是电磁波——它们本质上是连续变化的信号（随时间变化的电压）。但是，现代雷达用计算机来处理信号，而计算机只能处理”数字”（0和1），不能直接处理”连续变化”的东西。这就引出了一系列问题：如何把连续信号变成计算机能处理的数字？变了之后信息会丢失吗？计算机怎么快速分析信号的频率成分？怎么设计一个”频率过滤器”来提取我们想要的信号、滤掉不要的？

本章将回答这些问题，尽管看起来数学公式很多，但我们会用生活例子帮你理解每一个概念背后的直觉。

2.1 离散信号与系统

2.1.1 连续信号 vs. 离散信号

生活类比：

想象你在记录一整天的气温变化：

连续信号：就像用一支无限细的笔在一张无限长的纸上连续画温度曲线——每个时刻的温度都记录下来了。但这是不可能的，你不可能记录所有时刻的温度。
离散信号：你每隔一小时看一次温度计，记下：8:00是20°C、9:00是21°C、10:00是22°C……这就是对连续温度的”离散采样”——你只记录了某些时刻的值。

正式定义：

连续时间信号：自变量（时间）是连续的，记为 $x(t)$。在任何时间 $t$ 上都有定义。
离散时间信号：自变量只在某些离散的时刻有定义，记为 $x[n]$。这里的 $n$ 是整数，代表”第几个采样点”。

连续信号 x(t)：                   离散信号 x[n]：
   ↑                              ↑
   |    /\                        |    ×
   |   /  \          /\           |   × ×    ×
   |  /    \  /\    /  \          |  ×   ×  × ×
   | /      \/  \  /    \         | ×     ××   ×
   |/           \/      \/        |×           ×
   └───────────────→ t            └───────────→ n

在雷达中：

连续信号：天线接收到的回波信号是连续的电压变化——模拟信号
离散信号：ADC（模数转换器）把连续的模拟回波每隔一个固定时间间隔采一个样，变成一串数字——这就是离散信号

2.1.2 连续到离散：采样过程

把连续信号变成离散信号的过程叫做采样（Sampling）。

数学上，采样可以看作：

$$
x_p(t) = x(t) \cdot \delta_T(t)
$$

其中 $\delta_T(t)$ 是周期冲激串（一串间隔均匀的”脉冲”），间隔为 $T_s$（采样周期）。

采样后的信号就变成了一串数字：

$$
x[n] = x(nT_s), \quad n = \cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots
$$

关键参数：

参数	符号	定义	关系
采样周期	$T_s$	两个采样点之间的时间间隔	—
采样频率	$f_s$	每秒钟采多少个样	$f_s = 1/T_s$

提示：采样周期和采样频率是倒数关系——间隔越短，每秒采得越多。

2.1.3 线性时不变系统（LTI系统）

生活类比：

一个”系统”就像一个黑盒子，你往里面输入东西，它就输出东西。

线性：如果你输入的声音大一倍，输出的声音也大一倍（成正比）；如果你同时输入两个声音，输出是这两个声音各自输出的叠加（不串扰）。
时不变：今天你喊”喂”它会回答”你好”，明天你喊同样”喂”它也会同样回答”你好”——系统的行为不随时间变化。

正式定义：

一个系统满足以下两个性质就称为线性时不变（LTI，Linear Time-Invariant）系统：

线性（叠加性 + 齐次性）：
$$
\text{若 } x_1[n] \to y_1[n], ; x_2[n] \to y_2[n]
$$
$$
\text{则 } a \cdot x_1[n] + b \cdot x_2[n] \to a \cdot y_1[n] + b \cdot y_2[n]
$$
时不变性：
$$
\text{若 } x[n] \to y[n]
$$
$$
\text{则 } x[n - k] \to y[n - k] \quad (\text{对任意} k)
$$

为什么LTI系统这么重要？

因为 LTI 系统可以用卷积（Convolution） 来描述：

$$
y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot h[n-k]
$$

其中 $h[n]$ 是系统的单位冲激响应——当输入是一个”瞬间脉冲”（只在 $n=0$ 处为1，其余为0）时系统的输出。知道了 $h[n]$，就完全知道了这个系统对任何输入的反应。

在雷达中的意义：

雷达中的大部分处理模块（滤波器、脉冲压缩器）都是 LTI 系统
匹配滤波器（最大化信噪比的滤波器）就是一个典型的 LTI 系统
卷积是雷达信号处理中最常用的数学运算之一

2.1.4 差分方程描述

离散 LTI 系统通常用线性常系数差分方程描述：

$$
\sum_{i=0}^N a_i y[n-i] = \sum_{j=0}^M b_j x[n-j]
$$

最常用的形式（$$a_0 = 1$$）：

$$
y[n] = \sum_{j=0}^M b_j x[n-j] - \sum_{i=1}^N a_i y[n-i]
$$

两种重要类型：

类型	条件	特点
FIR滤波器	所有 $a_i = 0$（$i \ge 1$）	输出只取决于输入，稳定，线性相位
IIR滤波器	存在 $a_i \neq 0$	输出也取决于过去的输出，可能有反馈

2.2 采样定理

2.2.1 生活类比——拍电影

电影每秒拍24帧（24张照片），每张照片就是对连续画面的一次”采样”。

如果你拍一个车轮在转动：

如果车轮转速慢（每秒钟转几圈），24帧就能捕捉到转动
如果车轮转速非常快，会发生什么？在电影里，车轮看起来好像在倒转！

这就是混叠（Aliasing）——采样频率不够高，导致高频信息被”伪装”成了低频信息。

核心问题：采样频率 $f_s$ 需要多高，才能从采样后的信号完美恢复出原来的连续信号？

2.2.2 Nyquist采样定理（低通采样）

Nyquist采样定理（也叫香农采样定理）回答了这个问题：

对于一个最高频率为 $f_H$ 的带限信号，如果采样频率 $f_s$ 满足：
$$f_s > 2f_H$$
则可以从采样后的离散信号完美恢复出原始连续信号。

其中，$$2f_H$$ 称为Nyquist频率（Nyquist rate）。

为什么是这个条件？我们直观解释一下：

信号在频域的频谱分布是这样的：

原始信号频谱 M(f)：
    ↑
    |       /\
    |      /  \
    |     /    \
    └────┴──────┴───→ f
        -fH     fH

采样后的信号频谱是原始频谱以 $$f_s$$ 为周期的重复：

|   ...    /\          /\          /\    ...
|         /  \        /  \        /  \
|        /    \      /    \      /    \
└───┴───┴──────┴────┴──────┴────┴──────┴───→ f
    -2fs   -fs  -fH 0 fH  fs   2fs

如果 $$f_s > 2f_H$$：各周期副本之间有间隙，可以用一个低通滤波器把中间的原始频谱”切”出来
如果 $$f_s \le 2f_H$$：各周期副本重叠在一起，就发生了混叠，再也无法恢复原始信号

混叠就像：两个不同的信号在采样后变成了同一个样子，你分不清谁是谁了。

2.2.3 雷达中的采样——一个实际例子

假设雷达接收到的回波带宽是 10 MHz（这决定了距离分辨力）。根据 Nyquist 定理，ADC 的采样频率至少需要：

$$
f_s > 2 \times 10\ \text{MHz} = 20\ \text{MHz}
$$

即每秒至少采2000万个点。

常见误区：”雷达工作频率是10 GHz，那采样率是不是要20 GHz？”

答案：不需要！雷达接收机先把高频信号下变频到中频或基带（降低频率），只保留带宽（10 MHz）内的信息，然后ADC只需要采带宽的两倍，而不是载波频率的两倍。这就是带通采样和超外差接收机的妙处。

2.2.4 带通采样（Bandpass Sampling）

为什么需要带通采样？

在实际雷达中，信号往往不是从0 Hz开始的”低通信号”，而是位于某个较高频率附近的带通信号。比如：

雷达中频信号：中心频率 70 MHz，带宽 10 MHz
信号范围：65 MHz ~ 75 MHz

如果按照低通 Nyquist 采样，采样率需要 > 150 MHz（$$2 \times 75$$ MHz），太高了，ADC负担大。

带通采样的核心思想：

带通采样允许用低于信号最高频率两倍的采样率来采样，只要满足一定条件。条件是：

对于频率范围在 $$[f_L, f_H]$$ 的带通信号（带宽 $$B = f_H - f_L$$），采样率 $$f_s$$ 需满足：

$$
\frac{2f_H}{m+1} \le f_s \le \frac{2f_L}{m}
$$

其中 $$m$$ 是某个整数，范围为 $$0 \le m \le \lfloor f_L/B \rfloor$$。

更易懂的推导：

确定带宽 $$B = f_H - f_L$$
找整数 $$m = \lfloor f_L / B \rfloor$$（向下取整）
可用的采样率范围：$$\frac{2f_H}{m+1} \le f_s \le \frac{2f_L}{m}$$

具体例子：

中频信号：中心 70 MHz，带宽 20 MHz

$$f_L = 60$$ MHz，$$f_H = 80$$ MHz，$$B = 20$$ MHz
$$m = \lfloor 60/20 \rfloor = 3$$
范围：$$\frac{2 \times 80}{3+1} = 40 \le f_s \le \frac{2 \times 60}{3} = 40$$
所以 $$f_s = 40$$ MHz 是唯一选择

或者再算另一种情况：

$$m = 2$$：$$\frac{2 \times 80}{2+1} \approx 53.33 \le f_s \le \frac{2 \times 60}{2} = 60$$
所以 $$f_s = 56$$ MHz 也可以

带通采样的本质：利用频谱的周期重复特性，让高频信号的频谱”折叠”到低频区域，只要不重叠，就能恢复。这就像用慢速相机拍一个快速旋转的风扇——虽然采样”慢”，但只要扇叶的位置不重叠，你还是能看懂。

带通采样的雷达意义：

大幅降低对 ADC 采样率的要求
可以在中频直接采样，然后通过数字下变频（DDC）得到基带 I/Q 信号
现代雷达的典型做法：中频带通采样 + 数字下变频

2.2.5 I/Q采样（正交采样）

生活类比：

你用耳朵听声音：

你能听出声音的大小（幅度）
也能听出声音是从左边还是右边来的（相位信息——左右耳的时间差）

如果只记录”音量”（幅度），会丢失”方向”（相位）信息。在雷达中，丢失相位信息意味着丢失多普勒信息（无法测速）。

I/Q信号是什么？

I 代表 In-phase（同相），Q 代表 Quadrature（正交，相位差90°）。

雷达信号可以写成：

$$
s(t) = A(t) \cos(2\pi f_0 t + \phi(t))
$$

它同时包含了幅度 $$A(t)$$ 和相位 $$\phi(t)$$ 信息。

为了完整保留这两部分信息，我们将其分解为两个正交分量：

$$
s(t) = I(t) \cos(2\pi f_0 t) - Q(t) \sin(2\pi f_0 t)
$$

其中：

$$I(t) = A(t) \cos\phi(t)$$ —— 同相分量
$$Q(t) = A(t) \sin\phi(t)$$ —— 正交分量

接收机如何得到I/Q信号：

                  ┌─────┐
                  │ LPF │──→ I(t) = A·cosφ
                  └─────┘
        ┌───────┐
s(t) ──→│ 功分器 │
        └───────┘
                  ┌─────┐
                  │ LPF │──→ Q(t) = A·sinφ
                  └─────┘

输入信号分成两路
I路乘以 $$\cos(2\pi f_0 t)$$，低通滤波
Q路乘以 $$-\sin(2\pi f_0 t)$$（相位偏移90°），低通滤波

I/Q采样的优势：

能力	仅幅度采样	I/Q采样
测幅度	✅	✅
测相位	❌	✅
区分正负频率	❌	✅
检测多普勒频移	❌	✅
检测目标运动方向	❌	✅
信噪比	基准	高3dB

I/Q采样在雷达中的意义：

保留了全部信息（幅度+相位），这是相干雷达的基础
能区分正负多普勒频率——从而判断目标是靠近还是远离
脉冲多普勒雷达和MTI雷达的核心依赖I/Q采样

2.3 DFT与FFT

傅里叶变换是信号处理中最重要、最美妙的工具之一。它回答了这个问题：

一个随时间变化的信号，包含哪些频率成分？

2.3.1 为什么要从时域看到频域？

生活类比：

时域：听一首歌，随着时间流逝，你听到鼓声、吉他声、人声依次出现
频域：看这首歌的频谱图——你发现低音（50-200Hz）主要是鼓，中音（200-2000Hz）主要是人声，高音（2000-5000Hz）主要是吉他

时域和频域是同一个信号的两种不同”视图”。

时域：                    频域：
  ↑                        ↑
  |  /\  |\  /|           |  ██
  | /  \ | \/ |           | ████
  |/    \|    |           |██████
  └──────────→ t          └────────→ f

为什么这对雷达重要？

因为雷达测速依赖多普勒频移（频率的变化），而频移在时域波形上几乎看不出来，但在频域上却一目了然——一个频率的偏移。

2.3.2 四种傅里叶变换的演进

对于不同”特点”的信号，有不同的傅里叶变换版本：

变换	时域	频域	适合什么样的信号
FT（傅里叶变换）	连续、非周期	连续、非周期	理论分析，不能计算机实现
FS（傅里叶级数）	连续、周期	离散、非周期	周期信号的理论分析
DTFT（离散时间FT）	离散、非周期	连续、周期	理论分析离散信号
DFS（离散傅里叶级数）	离散、周期	离散、周期	周期离散信号
DFT（离散傅里叶变换）	离散、有限长	离散、有限长	计算机能算的！

关键跳跃：从FT到DFT，我们完成了从”需要无穷多连续点的数学公式”到”可以用计算机计算有限个数字”的转换。

2.3.3 DFT的定义

对于一个长度为 $$N$$ 的离散序列 $$x[n]$$，其 DFT（离散傅里叶变换） 定义为：

$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, 1, \cdots, N-1
$$

其**逆变换（IDFT）**为：

$$
x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n = 0, 1, \cdots, N-1
$$

每个符号的解释：

符号	含义
$x[n]$	输入信号的第 n 个采样点（时域）
$X[k]$	输出频谱的第 k 个频率分量（频域）
$N$	总的采样点数（也是输出的频率点数）
$e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$	旋转因子，即复数形式的正弦波
$k$	频率分量的索引，对应频率 $f_k = k \cdot f_s / N$

DFT做的事：把输入信号和不同频率的正弦波”做相关”，看看信号中包含多少这个频率的成分。

$$X[0]$$：信号的直流分量（0 Hz成分）
$$X[1]$$：频率为 $$f_s/N$$ 的成分
$$X[k]$$：频率为 $$k \cdot f_s/N$$ 的成分

2.3.4 简化写法：旋转因子

为了书写简洁，令旋转因子为：

$$
W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}
$$

则 DFT 简写为：

$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot W_N^{kn}, \quad k = 0, 1, \cdots, N-1
$$

旋转因子的重要性质：

性质	公式	直观理解
周期性	$W_N^{k+N} = W_N^k$	转一圈回到起点
对称性	$W_N^{k+N/2} = -W_N^k$	半圈后方向相反
共轭性	$(W_N^k)^* = W_N^{-k}$	复数共轭
可约性	$W_{mN}^{mk} = W_N^k$	缩放不变性

这些性质是FFT加速的核心基础。

2.3.5 DFT的计算量问题（为什么需要FFT）

直接按定义计算DFT：

每一个 $$X[k]$$ 需要做 $$N$$ 次复数乘法 + $$(N-1)$$ 次复数加法
总共 $$N$$ 个 $$X[k]$$，所以总计算量约为：
- 复数乘法次数：$$N^2$$
- 复数加法次数：$$N(N-1) \approx N^2$$

这是什么概念？

N	N²	什么场景
64	4,096	一次小规模计算
1024	1,048,576	一个中等长度信号
4096	16,777,216	一次典型的雷达脉冲采样
65536	4,294,967,296	一个较长信号——4亿次乘法！

对于雷达这种需要实时处理的系统，$$N^2$$ 计算量太大了。我们需要一种更快的算法。

2.3.6 FFT——Cooley-Tukey算法

FFT（快速傅里叶变换） 不是一种新的变换，而是DFT的快速实现算法。

核心思想：分而治之（Divide and Conquer）

把一个大DFT分解成两个小DFT，再把两个小DFT分解成四个更小的DFT……直到分解成最简单的2点DFT。

具体来说——基2时间抽取（DIT）：

假设 $$N = 2^m$$（2的整数次幂），将序列分成奇偶两部分：

偶数点：$$x_e[n] = x[2n]$$
奇数点：$$x_o[n] = x[2n+1]$$

则：

$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N/2-1} x_e[n] \cdot W_{N/2}^{kn} + W_N^k \sum_{n=0}^{N/2-1} x_o[n] \cdot W_{N/2}^{kn}
$$

$$
= X_e[k] + W_N^k \cdot X_o[k], \quad k = 0, 1, \cdots, N/2-1
$$

后半部分利用对称性：

$$
X[k + N/2] = X_e[k] - W_N^k \cdot X_o[k], \quad k = 0, 1, \cdots, N/2-1
$$

2.3.7 蝶形运算（Butterfly Operation）

上面的分解对应一个基本的计算单元——蝶形运算：

X_e[k] ────────┬──── + ──── X[k]
               │
              ╳──── ──── X[k+N/2]   (带负号)
               │
X_o[k] ────W_N^k

这个图形像一只蝴蝶（蝴蝶结），所以叫”蝶形运算”。

整个过程：把 $$N$$ 点DFT不断二分，直到变成 $$N/2$$ 个2点DFT，总共 $$\log_2 N$$ 层。

N点DFT
├── N/2点DFT（偶数索引）
│   ├── N/4点DFT
│   │   ├── ...
│   │   └── 2点DFT
│   └── N/4点DFT
│       ├── ...
│       └── 2点DFT
└── N/2点DFT（奇数索引）
    ├── N/4点DFT
    │   ├── ...
    │   └── 2点DFT
    └── N/4点DFT
        ├── ...
        └── 2点DFT

计算量对比：

$$
\text{DFT} : N^2 \quad \text{vs} \quad \text{FFT} : \frac{N}{2} \log_2 N
$$

N	DFT乘法次数	FFT乘法次数	加速比
64	4,096	192	21倍
1024	1,048,576	5,120	205倍
4096	16,777,216	24,576	682倍
65536	4,294,967,296	524,288	8192倍

FFT的工程意义：没有FFT，就没有现代数字信号处理。雷达实时处理上百万个采样点，如果不用FFT，用DFT的计算时间会多到无法接受。

2.3.8 频率分辨率

这是雷达信号处理中最实际的问题之一。

频率分辨率定义：DFT输出中相邻两个频率点之间的频率间隔。

$$
\Delta f = \frac{f_s}{N}
$$

其中 $$f_s$$ 是采样率，$$N$$ 是FFT点数。

直观理解：

$$f_s$$（采样率）决定了你”看”的频率范围：从 0 Hz 到 $$f_s/2$$
$$N$$（FFT点数）决定了你的频率”放大镜”有多细：把整个频率范围分成 $$N$$ 份

例子：

采样率 $$f_s = 2$$ MHz，FFT点数 $$N = 1024$$
频率分辨率 $$\Delta f = 2\ \text{MHz} / 1024 \approx 1953$$ Hz
这意味着两个频率相差不到1953 Hz的信号在频谱上看起来是一个峰——分不开！

在雷达中的意义：

假设我们想分辨两个运动速度相差 1 m/s 的目标，雷达频率 10 GHz，则多普勒频率差为：

$$
\Delta f_d = \frac{2 \cdot \Delta v}{\lambda} = \frac{2 \times 1}{0.03} \approx 66.7\ \text{Hz}
$$

这就需要频率分辨率至少要好于 66.7 Hz：

$$
\Delta f = \frac{f_s}{N} < 66.7\ \text{Hz}
$$

如果脉冲重复频率（PRF，也就是采样率 $$f_s$$）为 10 kHz，那么需要的FFT点数：

$$
N > \frac{10000}{66.7} \approx 150
$$

所以至少需要做256点或512点FFT。

一个重要权衡：

提高频率分辨率 → 需要更大的 N → 需要更长的观测时间 $$T = N \cdot T_s = N/f_s$$

在雷达中，观测时间受波束扫过目标的时间限制

所以分辨率受限于相干处理间隔（CPI）

2.3.9 窗函数（Windowing）

问题：实际信号是有限长的，DFT假定了这种有限长信号是周期性延拓的。但如果信号在截断边界处不连续，就会在频谱中引入”泄漏”——本应集中在一个频率的能量扩散到了旁边。

解决办法：在FFT之前，给信号乘上一个窗函数，让信号在边界处平滑地衰减到0。

常见窗函数：

窗函数	主瓣宽度	副瓣高度	特点
矩形窗	最窄	-13 dB	没有额外处理就是矩形窗，泄漏严重
汉宁窗	较宽	-32 dB	常用，兼顾分辨力和泄漏抑制
海明窗	较宽	-43 dB	和汉宁类似
布莱克曼窗	最宽	-58 dB	泄漏最小，但分辨力最差

窗函数对频谱的影响：

矩形窗频谱：    汉宁窗频谱：
  ↑               ↑
  |   /\          |   /\
  |  /  \         |  /  \
  | /    \        | /    \
  |/      \       |/      \
  └───────→ f    └───────→ f
  副瓣高             副瓣低
  主瓣窄             主瓣宽

权衡：

矩形窗：频率分辨率最高，但泄漏严重
加窗：减小泄漏，但分辨率下降
选择什么窗，取决于你的应用更看重分辨率还是更看重泄漏抑制

雷达中的窗函数：

MTI/MTD处理中常用海明窗或切比雪夫窗来压低多普勒副瓣
脉冲压缩中常用泰勒窗或Kaiser窗来设计匹配滤波器的加权

2.4 数字滤波器

2.4.1 什么是数字滤波器？

生活类比：

想象你在泡咖啡：

滤波器 = 滤纸——让咖啡液（想要的信号）通过，把咖啡渣（不想要的干扰）挡住
通带 = 滤纸的孔——让某些频率的信号顺利通过
阻带 = 滤纸的实体部分——阻止其他频率的信号通过

数字滤波器就是一个”频率选择性”的计算过程——从数字信号中提取某些频率成分，抑制其他频率成分。

2.4.2 FIR滤波器（有限冲激响应滤波器）

定义：FIR滤波器的输出只取决于当前和过去的输入，不取决于过去的输出。

差分方程：

$$
y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \cdot x[n-k]
$$

其中 $$b_k$$ 是滤波器系数（也称为抽头系数），$$M+1$$ 是滤波器的阶数。

结构图：

x[n] ──→ [z⁻¹] ──→ [z⁻¹] ──→ ⋯ ──→ [z⁻¹]
   │       │          │                 │
   │×b₀    │×b₁       │×b₂     │×bₘ
   ↓       ↓          ↓                 ↓
   ⊕───────⊕──────────⊕──⋯───⊕─────────⊕──→ y[n]

其中 $$z^{-1}$$ 表示单位延迟（把信号延迟一个采样周期）。

FIR滤波器的优势：

特性	说明
稳定	没有反馈，永远不会发散
线性相位	不同频率分量的延迟相同，信号波形不失真——这对雷达非常重要
易于实现	就是乘加运算

设计方法：窗函数法

确定理想的频率响应 $$H_d(e^{j\omega})$$
计算理想冲激响应 $$h_d[n]$$（通常是 $$\sin(x)/x$$ 形式）
用窗函数截断到有限长度：$$h[n] = h_d[n] \cdot w[n]$$

举例——设计一个低通FIR滤波器：

理想低通滤波器的频率响应：
$$
H_d(e^{j\omega}) = \begin{cases}
e^{-j\omega\tau}, & |\omega| \le \omega_c \
0, & \omega_c < |\omega| \le \pi
\end{cases}
$$

对应冲激响应（无限长）：
$$
h_d[n] = \frac{\sin[\omega_c(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)}
$$

乘以窗函数截断到有限长度，就得到了一个可实现的FIR滤波器。

2.4.3 数字下变频（DDC）

生活类比：

你从北京搬家到上海。北京的房子几百万元，上海的房子也要几百万元。你不能直接把”北京的价格”当作”上海的价格”比较。

同样，雷达回波信号的频率很高（几百MHz到几十GHz），不能直接处理。需要下变频——把信号从高频”搬”到低频。

DDC（Digital Down Converter，数字下变频） 是数字域中的下变频操作，是软件无线电和现代雷达接收机的核心模块。

DDC的结构：

                    ┌──────┐
                    │ LPF  │──→ I[n]（基带同相分量）
                    └──────┘
           ┌───────┐
ADC信号 ──→│    ×   │
           └───────┘
           ┌───────┐
           │    ×   │
           └───────┘
                    ┌──────┐
                    │ LPF  │──→ Q[n]（基带正交分量）
                    └──────┘

工作流程：

ADC将中频（IF）信号数字化
数字信号与本振（NCO产生的数字正弦波）相乘
低通滤波后得到基带I/Q信号
后续可以在基带进行信号处理（更低的采样率意味着更低的计算量）

为什么要做DDC？

ADC采样后的信号频率仍然较高（比如几十MHz中频）
直接处理高频数字信号需要很高的时钟频率和大量的计算资源
DDC把信号降到基带后，可以用较低的采样率处理（降采样），计算量大幅降低
同时得到正交的I/Q信号，保留了相位信息

2.4.4 CIC滤波器（Cascaded Integrator-Comb）

CIC滤波器是一种特殊的、非常高效的抽取滤波器，广泛应用于DDC中的降采样。

为什么需要CIC？

在DDC中，经过混频和低通滤波后，信号的带宽变窄了。根据采样定理，我们可以用更低的采样率来采样而不丢失信息（因为高频部分已被滤除）。这个过程叫做降采样/抽取（Decimation）。

降采样前需要先抗混叠滤波——滤除高频成分，否则降采样后会发生混叠。

普通的FIR滤波器在降采样率很大（比如从80 MHz降到2.5 MHz，降32倍）时，需要的阶数非常高，计算量大到无法承受。

CIC滤波器的巧妙设计：

CIC滤波器由两部分组成：

1
2

x[n] ──→ [积分器] ──→ [积分器] ──→ ... ──→ [↓R] ──→ [梳状器] ──→ [梳状器] ──→ ... ──→ y[m]
         ←──  N级积分 ──→        抽取     ←──  N级梳状 ──→

积分器：$$y[n] = y[n-1] + x[n]$$（累加器）
梳状器：$$y[n] = x[n] - x[n-M]$$（差分器）
抽取器：每 R 个点保留一个（↓R）

CIC的优点：

特性	说明
无需乘法	只有加减法，硬件实现极其简单（FPGA友好）
可以任意抽取率	只要改变R
频率响应可预测	就是Sinc函数的形状

CIC的缺点：

通带内有倾斜（roll-off），需要后面用FIR的”反Sinc”补偿
阻带衰减不够大（需要多级级联）

CIC在雷达中的位置：

位于DDC的低通滤波之后
完成大幅度的降采样（比如从80 MHz降到10 MHz）
后面的HB/FIR再进行精细滤波和小幅度降采样

2.4.5 HB滤波器（Half-Band滤波器）

HB（半带）滤波器是一种特殊的FIR滤波器，专门用于2倍降采样。

特性：

通带截止频率 $$\omega_p$$ 和阻带起始频率 $$\omega_s$$ 关于 $$\pi/2$$ 对称
通带波动和阻带波动相等
所有偶数抽头系数（除中心外）均为0！

HB滤波器的优势：

      |H(eʲᵒᵐ)|
1 ──────┐
         \     通带
          \    /\
           \  /  \
            \/    \   阻带
             └──────┴─────→ ω
             0   π/2  π

一半的系数为0，计算量减半
特别适合做2倍降采样
多级HB级联可以实现任意2的幂次降采样

典型DDC中的降采样方案：

ADC(80 MHz) → DDC → CIC(↓8) → HB(↓2) → HB(↓2) → FIR补偿 → 基带(2.5 MHz)

各级采样率变化：
80 MHz ──→ CIC ──→ 10 MHz ──→ HB ──→ 5 MHz ──→ HB ──→ 2.5 MHz

这个方案通过三级降采样（CIC + HB + HB）将采样率从80 MHz降到2.5 MHz，每级各司其职：

级数	滤波器	降采样倍率	输出采样率	作用
第1级	CIC	×8	10 MHz	大幅降采样，粗滤波
第2级	HB	×2	5 MHz	中精度半带滤波
第3级	HB	×2	2.5 MHz	中精度半带滤波
第4级	FIR	×1	2.5 MHz	精细补偿，整形

2.4.6 多级降采样为何更高效？

假设要从80 MHz降到2.5 MHz（共降32倍）：

单级方法：设计一个低通滤波器（截止频率1.25 MHz），直接32倍降采样
- 滤波器过渡带极窄（从1.25 MHz到2.5 MHz只有1.25 MHz的过渡带宽）
- 需要极高的阶数（几百甚至上千阶）
- 计算量巨大
多级方法：CIC(×8) + HB(×2) + HB(×2) + FIR
- 每级过渡带相对宽得多
- 每级需要的阶数很小
- 总计算量是单级的几十分之一！

核心原则：降采样要逐级进行，绝不要一步到位。

2.4.7 完整DDC处理链

现代雷达接收机的数字部分通常包含：

ADC
 │
 │ 中频模拟信号 → 数字化
 ↓
NCO（数字控制振荡器）
 │
 ├──→ I路混频 → CIC(↓R₁) → HB(↓2) → HB(↓2) → FIR补偿 → I基带输出
 │
 └──→ Q路混频 → CIC(↓R₁) → HB(↓2) → HB(↓2) → FIR补偿 → Q基带输出

NCO（数字控制振荡器）：产生数字正弦/余弦信号，频率精确可控。

整个过程完成：

ADC：模拟中频 → 数字中频
NCO混频：数字中频 → 数字基带（频谱搬到0 Hz附近）
CIC + HB + FIR：低通滤波 + 降采样（降低数据率，减少后续处理计算量）
I/Q输出：两个正交的基带信号，包含全部幅度和相位信息，等待后续的MTI、脉冲多普勒、CFAR等处理

本章总结

核心要点

离散信号是连续信号的”快照”——计算机只能处理离散信号，所以必须把雷达的连续回波通过ADC变成离散的数字序列。
Nyquist采样定理是最基本的约束——采样频率必须大于信号最高频率的两倍，否则发生混叠。但带通采样允许用低得多的采样率来采样高频窄带信号，这是雷达ADC设计的关键。
I/Q采样保留了全部信息（幅度+相位）——失去相位意味着失去多普勒信息，所以雷达必须使用I/Q采样。
FFT把DFT的计算量从 $$N^2$$ 降到 $$\frac{N}{2}\log_2 N$$——分而治之的思想，从物理意义上是把时域信号分解成不同的频率成分。FFT是雷达信号处理中最常被调用的核心算法。
频率分辨率 $$\Delta f = f_s/N$$ 决定了多普勒分辨能力——分辨率和观测时间成反比，这是雷达设计中必须权衡的因素。
数字滤波器是频率的”门”——FIR滤波器稳定、线性相位。在雷达中，FIR被广泛用于脉冲压缩、MTI滤波、DDC等场景。
DDC是雷达数字接收机的核心——先把高频信号下变频到基带，再通过CIC+HB+FIR多级降采样降低数据率，最后得到I/Q基带信号供后续处理。

关键公式速查

公式	意义
$x[n] = x(nT_s)$	连续信号离散化
$f_s > 2f_H$	Nyquist采样定理
$\frac{2f_H}{m+1} \le f_s \le \frac{2f_L}{m}$	带通采样条件
$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]W_N^{kn}$	DFT定义
$\text{FFT复杂度} = \frac{N}{2}\log_2 N$	FFT计算量
$\Delta f = f_s/N$	频率分辨率
$y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$	FIR滤波器
$f_s’ = f_s / R$	降采样后采样率

本章计算练习题

题1：Nyquist 采样率

一个模拟信号包含最高频率 $f_H = 10\ \text{MHz}$ 的频率分量。问：(1) 最低需要多少采样率才能无失真恢复？(2) 如果实际采样率 $f_s = 22\ \text{MHz}$，那么 Nyquist 区间（$[-f_s/2, f_s/2]$）内能处理的最大信号频率是多少？

点击查看解答

(1) 根据 Nyquist 采样定理：
$$f_s > 2f_H = 2 \times 10 = 20\ \text{MHz}$$

(2) 当 $f_s = 22\ \text{MHz}$，Nyquist 区间为 $[-11\ \text{MHz}, 11\ \text{MHz}]$，能处理的最高信号频率为：
$$f_{\max} = f_s/2 = 11\ \text{MHz}$$

题2：带通采样频率选择

一个带通信号的频率范围为 $f_L = 60\ \text{MHz}$，$f_H = 80\ \text{MHz}$，信号带宽 $B = 20\ \text{MHz}$。选择带通采样频率 $f_s$，使采样后频谱不发生混叠。

点击查看解答

带通采样定理要求：
$$\frac{2f_H}{m+1} \le f_s \le \frac{2f_L}{m}$$

其中 $m$ 是满足 $0 \le m \le \lfloor f_L/B \rfloor$ 的整数。

$f_L/B = 60/20 = 3$，所以 $m = 0, 1, 2, 3$。

$m=0$：$f_s \ge 160\ \text{MHz}$（低通采样，不划算）
$m=1$：$80 \le f_s \le 120\ \text{MHz}$
$m=2$：$53.3 \le f_s \le 60\ \text{MHz}$
$m=3$：$40 \le f_s \le 40\ \text{MHz}$，即 $f_s = 40\ \text{MHz}$

工程中常选 $f_s = 40\ \text{MHz}$，因为采样率最低，ADC 负担最小。

验证：以 $f_s = 40\ \text{MHz}$ 采样，60~~80 MHz 的信号会折叠到 0~~20 MHz 的基带区间，不会混叠。

题3：FFT 频率分辨率

一部雷达的 PRF = 1 kHz，对一个 CPI 内的 64 个脉冲做 FFT。求：(1) FFT 的频率分辨率 $\Delta f$；(2) FFT 能覆盖的最大不模糊多普勒范围；(3) 如果希望频率分辨率达到 10 Hz，需要积累多少个脉冲？

点击查看解答

(1) 频率分辨率：
$$\Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{\text{PRF}}{N} = \frac{1000}{64} = 15.625\ \text{Hz}$$

(2) 最大不模糊多普勒范围：
$$F_{D,\max} = \text{PRF} = 1000\ \text{Hz}$$

(3) 要达到 $\Delta f = 10\ \text{Hz}$：
$$N = \frac{f_s}{\Delta f} = \frac{1000}{10} = 100\ \text{个脉冲}$$

注意：FFT 点数通常取 2 的幂，所以实际可取 $N = 128$，此时 $\Delta f = 1000/128 = 7.8125\ \text{Hz}$。

题4：FIR 滤波器计算量

一个 FIR 滤波器阶数为 $M = 127$ 阶（128 个抽头），输入信号采样率 $f_s = 10\ \text{MHz}$。问：(1) 每秒钟需要做多少次乘加运算？(2) 如果改用 FFT 快速卷积（N=256），每秒钟需要多少次复数乘法？

点击查看解答

(1) FIR 直接实现每秒运算量：
$$\text{运算量} = (M+1) \times f_s = 128 \times 10 \times 10^6 = 1.28 \times 10^9\ \text{次/秒}$$

即 1.28 GOPS（每秒十亿次操作），对实时系统是很大负担。

(2) FFT 快速卷积（N=256）：

每次 FFT 需要 $(N/2)\log_2 N = 128 \times 8 = 1024$ 次复数乘法
每次处理 N 个点，每秒需要处理 $f_s/N = 10^7/256 \approx 39062$ 次
总运算量：$39062 \times (1024 + 512 + 1024) \approx 39062 \times 2560 \approx 10^8$ 次/秒

FFT 方法比直接 FIR 快约 13 倍。

下一章预告：有了这些信号处理的基本工具，我们就可以开始设计雷达信号处理的具体算法了。下一章将介绍脉冲雷达的数据采集过程。

第3章脉冲雷达数据采集

本章导航

节号	内容	难度
3.1	脉冲雷达工作原理	★☆☆☆☆
3.2	信号采样策略	★★☆☆☆
3.3	I/Q正交解调	★★★☆☆
3.4	模数转换ADC	★★☆☆☆

3.1 脉冲雷达工作原理

3.1.1 从”回声测距”说起

生活例子： 想象你在一个山谷中大喊一声”喂——“，然后侧耳倾听。过一会儿，你会听到”喂——“的回声。为什么会有回声？因为声音传播到对面山壁，被反射回来。如果你知道声音在空气中的速度（约340 m/s），并且你测量出从喊出到听到回声的时间差，就能算出山壁离你多远：

$$
\text{距离} = \frac{\text{声速} \times \text{时间差}}{2}
$$

为什么要除以2？因为声音走了 一个来回：从你到山壁，再从山壁返回你。

雷达的原理完全一样，只是把”声音”换成了”电磁波”。雷达发射一束电磁波脉冲，电磁波碰到目标（飞机、船只、导弹）后反射回来，雷达接收回波。电磁波的速度是光速 $c = 3 \times 10^8$ m/s，只要测出发射和接收的时间差 $\Delta t$，就能算出目标距离：

$$
R = \frac{c \cdot \Delta t}{2} \tag{3.1}
$$

公式3.1符号说明：

$R$：目标距离，单位 m（米）

$c$：光速，$3 \times 10^8$ m/s

$\Delta t$：发射到接收的时间差，单位 s（秒）

这就是脉冲雷达最基本的测距原理。

3.1.2 发射脉冲与等待回波

脉冲雷达不是连续发射电磁波的，而是一下一下地”发射短脉冲 → 等待回波 → 发射下一个脉冲”。这和拍照时的闪光灯很像：闪一下，等光线回来，再闪下一张。

一个完整的”发射+等待”周期称为 脉冲重复间隔（PRI, Pulse Repetition Interval），用 $T$ 表示，单位是秒。

每秒钟发射的脉冲个数称为 脉冲重复频率（PRF, Pulse Repetition Frequency），单位是 Hz：

$$
\text{PRF} = \frac{1}{\text{PRI}} = \frac{1}{T} \tag{3.2}
$$

举个例子：

如果 PRI = 1 ms（毫秒），则 PRF = 1000 Hz，即雷达每秒发射1000个脉冲。
如果 PRI = 0.2 ms，则 PRF = 5000 Hz。

为什么不让雷达连续发射？
因为雷达需要”听”回波。如果一直发射，回波就会被发射信号淹没，什么都听不到。所以脉冲雷达在发射时关闭接收机，发射完再打开接收机”听”回波。这一发一收之间有时间差，决定了雷达能测量的最大距离。

3.1.3 最大不模糊距离

既然雷达在一个 PRI 内只能”听”一次回波，那么如果目标太远，回波在下一个脉冲已经发出后才到达，雷达就会把回波误认为是第二个脉冲的回波，从而计算出错误的距离。

生活例子： 你在山谷中每隔2秒喊一次”喂”。如果山壁很远，回声在2秒后才回来，你就分不清这个回声是对应哪一次喊声了。

雷达能测量”不模糊”的最大距离称为 最大不模糊距离：

$$
R_{\text{ua}} = \frac{c \cdot T}{2} = \frac{c}{2 \cdot \text{PRF}} \tag{3.3}
$$

公式3.3符号说明：

$R_{\text{ua}}$：最大不模糊距离，m

$c$：光速，$3 \times 10^8$ m/s

$T$：PRI，s

PRF：脉冲重复频率，Hz

PRF 的选取是一个权衡：

高 PRF（短 PRI）：最大不模糊距离小，但测量精度高
低 PRF（长 PRI）：最大不模糊距离大，但测量精度低

PRF	PRI	最大不模糊距离	适用场景
1000 Hz	1 ms	150 km	远程警戒雷达
5000 Hz	0.2 ms	30 km	中程火控雷达
20 kHz	50 μs	7.5 km	近程雷达

3.1.4 回波信号的数学表示

发射信号可以表示为：

$$
x(t) = A(t) \cos(2\pi f_c t) \tag{3.4}
$$

公式3.4符号说明：

$x(t)$：发射信号，是一个随时间变化的电压/功率

$A(t)$：脉冲包络（脉冲的形状，通常是矩形），无量纲

$f_c$：载波频率（雷达的工作频率），单位 Hz

$t$：时间，单位 s

如果目标距离为 $R_0$，回波延迟 $\tau_0 = 2R_0 / c$，则接收到的回波信号为：

$$
y(t) = k \cdot A(t - \tau_0) \cos[2\pi f_c (t - \tau_0) + \phi(t)] + n(t) \tag{3.5}
$$

公式3.5符号说明：

$y(t)$：接收信号

$k$：衰减系数（信号在传播中会衰减）

$\tau_0 = 2R_0/c$：时间延迟，s

$\phi(t)$：目标反射引入的相位变化，rad

$n(t)$：接收机噪声

核心思想： 回波就是发射信号的”延迟版+衰减版”，延迟的时间 $\tau_0$ 告诉我们目标的距离 $R_0 = c\tau_0/2$。

3.1.5 本章小结(3.1)

概念	要点
脉冲雷达	发射短脉冲→等待回波→测距，类比山谷回声
PRI / PRF	PRI=1/PRF，一个发射周期；PRF=每秒脉冲数
最大不模糊距离	$R_{\text{ua}} = c/(2\text{PRF})$，PRF越高，不模糊距离越小
回波信号	发射信号的延迟+衰减版，延迟时间直接对应距离

3.2 信号采样策略

3.2.1 从”电影院胶片”理解二维采样

生活例子： 电影是怎样播放的？胶片上是一帧一帧的静态画面，快速播放（每秒24帧）就变成了连续运动。每一帧是空间上的一张完整图片，而帧与帧之间的顺序构成了时间上的变化。

雷达的采样策略和电影胶片惊人地相似。雷达把时间分成了两个维度：

快时间（Fast Time）：在一个脉冲回波内，按极高的采样率对回波信号采样。这相当于电影一帧画面内的像素点，反映的是距离方向的信息。
慢时间（Slow Time）：从脉冲到脉冲，记录同一个距离门在相邻脉冲间的变化。这相当于电影帧与帧之间的变化，反映的是目标运动（多普勒频率） 的信息。

3.2.2 距离门（Range Gate）

对单个脉冲的回波进行高速采样，每个采样点对应一个 距离门（Range Gate/Range Cell）。

$$
L = \frac{R_{\text{swath}}}{\Delta R} = \frac{R_{\text{swath}}}{c / (2F_s)} \tag{3.6}
$$

公式3.6符号说明：

$L$：距离门（采样点）的总个数，无量纲

$R_{\text{swath}}$：观测距离范围（距离窗口），m

$\Delta R$：一个距离门对应的距离长度（距离分辨率），m

$F_s$：采样率，Hz

$c$：光速，m/s

直观理解： 如果你要观测 0 ~ 30 km 范围内的目标，采样率 $F_s = 10$ MHz（每秒一千万个样本），那么每个采样点之间的时间间隔是 $1/F_s = 0.1$ μs，对应距离长度 $\Delta R = c \times 0.1\text{μs} / 2 = 15$ m。也就是说，在这个配置下，每个距离门代表15米的距离段，你需要采集 $L = 30000/15 = 2000$ 个采样点来覆盖整个30 km范围。

3.2.3 CPI（相参处理间隔）

CPI（Coherent Processing Interval，相参处理间隔） 是雷达做一次完整信号处理所包含的连续脉冲个数。

如果 PRF = 5000 Hz，CPI内包含 $M = 16$ 个脉冲，那么 CPI 的时间长度为：

$$
T_{\text{CPI}} = M \times \text{PRI} = 16 \times 0.2\text{ms} = 3.2\text{ms}
$$

在 CPI 内，雷达假设目标的运动状态基本不变，然后利用这 $M$ 个脉冲的回波做联合处理（如多普勒滤波）。

3.2.4 快时间 - 慢时间二维数据矩阵

所有脉冲的回波数据可以排列成一个二维矩阵：

$$
\text{数据矩阵大小} = L \ (\text{距离门数}) \times M \ (\text{CPI内脉冲数})
$$

方向	含义	采样率	对应信息
快时间（列）	一个脉冲回波内的采样点	$F_s$（MHz量级）	目标距离
慢时间（行）	同一个距离门在不同脉冲间的值	PRF（kHz量级）	目标速度（多普勒）

生活类比： 快时间是”用高速摄像机拍一张照片的像素”，慢时间是”用普通摄像机每秒拍24帧捕捉运动”。

3.2.5 采样率与距离分辨率

根据奈奎斯特采样定理，要无失真地恢复一个带宽为 $B$ 的信号，采样率必须满足：

$$
F_s \geq B \tag{3.7}
$$

公式3.7符号说明：

$F_s$：采样率，Hz

$B$：信号带宽，Hz

在雷达中，采样率直接决定了距离分辨率：

$$
\Delta R = \frac{c}{2F_s} = \frac{c}{2B} \tag{3.8}
$$

公式3.8符号说明：

$\Delta R$：距离分辨率，m

$c$：光速，m/s

$F_s$：采样率，Hz（当 $F_s = B$ 时）

$B$：信号带宽，Hz

举例： 如果雷达信号带宽 $B = 10$ MHz，则距离分辨率 $\Delta R = 3\times 10^8 / (2 \times 10^7) = 15$ m。这意味着两个目标如果相距小于15米，雷达就无法区分它们。

3.2.6 多普勒频率与慢时间采样

当目标相对雷达运动时，回波频率会发生偏移，这就是 多普勒效应。

生活例子： 救护车朝你开过来时，警笛声调变高；远离你时，声调变低。这就是声波的多普勒效应。电磁波也一样。

目标径向运动速度为 $v$ 时，多普勒频移为：

$$
f_d = \frac{2v}{c/f_c} = \frac{2v}{\lambda} \tag{3.9}
$$

公式3.9符号说明：

$f_d$：多普勒频率，Hz

$v$：目标的径向速度，m/s

$\lambda = c/f_c$：电磁波波长，m

慢时间的采样率就是 PRF。 根据奈奎斯特定理，PRF 必须大于两倍的最大多普勒频率：

$$
\text{PRF} > 2|f_{d,\max}|
$$

否则就会产生 多普勒模糊——就像电影中车轮看起来倒转一样（因为帧率太低，捕捉不到真实的旋转方向）。

最大不模糊多普勒频率：

$$
F_{D,\text{ua}} = \frac{1}{\text{PRI}} = \text{PRF} \tag{3.10}
$$

对应的最大不模糊速度为：

$$
v_{\text{ua}} = \frac{\text{PRF} \cdot \lambda}{2} \tag{3.11}
$$

3.2.7 本节小结

概念	要点
快时间	一个脉冲回波内的高速采样，对应距离信息
慢时间	跨脉冲的采样，对应多普勒（速度）信息
二维数据矩阵	L（距离门数）× M（脉冲数）
距离分辨率	$\Delta R = c/(2B)$，带宽越大分辨率越高
多普勒模糊	PRF 太低时，高速目标的速度无法正确测量

3.3 I/Q 正交解调

3.3.1 为什么要用 I/Q？——从”只闻其声不见其人”说起

生活例子： 你在打电话时，只能听到对方的声音（幅度变化），但看不到对方的表情（相位变化）。这就丢失了一半信息。

雷达信号有两个关键信息：幅度（目标大小）和相位（目标运动）。如果只用常规方法（直接采样射频信号），你只能得到幅度信息，却丢失了相位信息。而相位恰恰包含了目标是否在运动的关键信息。

I/Q 解调 就是为了同时保留幅度和相位信息而设计的。

3.3.2 什么是 I/Q？

I（In-Phase，同相分量）：与参考信号同相的分量
Q（Quadrature，正交分量）：与参考信号正交（相差90°）的分量

一个带相位信息的信号可以表示为：

$$
x(t) = A(t) \cos[2\pi f_c t + \phi(t)] \tag{3.12}
$$

通过 I/Q 解调，我们把信号拆成两个部分：

$$
\begin{aligned}
I(t) &= A(t) \cos[\phi(t)] \
Q(t) &= A(t) \sin[\phi(t)]
\end{aligned}
\tag{3.13}
$$

公式3.13符号说明：

$I(t)$：同相分量

$Q(t)$：正交分量

$A(t)$：信号幅度

$\phi(t)$：信号相位

然后可以用复数形式完美地表示信号：

$$
s(t) = I(t) + j Q(t) = A(t) e^{j\phi(t)} \tag{3.14}
$$

为什么复数表示好？ 因为 $\phi(t)$ 包含了目标的微小运动信息。例如，目标移动 $\lambda/4$，相位就变化 $\pi$（180°），这在复平面上是一目了然的。

3.3.3 I/Q 解调的硬件实现

I/Q 解调在硬件上是如何实现的？看下面的框图：

1
2
3

射频信号 → 分成两路
        ├→ 乘以 cos(2πf_LO t) → 低通滤波 → I 路
        └→ 乘以 -sin(2πf_LO t) → 低通滤波 → Q 路

具体步骤：

混频：将射频信号与本地振荡器（LO）信号相乘。本地振荡器产生两个信号：
- 参考信号：$\cos(2\pi f_{\text{LO}} t)$
- 90°移相信号：$-\sin(2\pi f_{\text{LO}} t)$
低通滤波：混频后的信号包含和频（$f_c + f_{\text{LO}}$）和差频（$f_c - f_{\text{LO}}$），低通滤波器滤掉和频部分，只保留差频部分。

数学推导：

以 I 路为例，输入信号 $s(t) = A(t)\cos[2\pi f_c t + \phi(t)]$ 乘以 $\cos(2\pi f_{\text{LO}} t)$：

$$
\begin{aligned}
s(t) \cdot \cos(2\pi f_{\text{LO}} t) &= A(t)\cos[2\pi f_c t + \phi(t)] \cdot \cos(2\pi f_{\text{LO}} t) \
&= \frac{A(t)}{2}{\cos[2\pi (f_c+f_{\text{LO}})t + \phi(t)] + \cos[2\pi (f_c-f_{\text{LO}})t + \phi(t)]}
\end{aligned}
$$

这里用到了三角恒等式： $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$

低通滤波后，和频部分被滤除，得到：

$$
I(t) = \frac{A(t)}{2} \cos[2\pi f_I t + \phi(t)]
$$

其中 $f_I = f_c - f_{\text{LO}}$ 是中频频率。

3.3.4 正交解调的数字实现（DDC）

在现代雷达中，I/Q 解调通常用 数字下变频（DDC, Digital Down Converter） 实现。流程如下：

1	`ADC采样 → 数字混频 → 低通滤波 → 抽取 → I/Q数据`

模拟信号先通过 ADC 变成数字信号，然后在数字域完成混频和滤波。这样做的好处是精度高、稳定性好、可编程。

3.3.5 复信号的物理意义

用复数 $I + jQ$ 表示信号后，信号完全由幅度和相位描述：

$$
\text{幅度} = \sqrt{I^2 + Q^2} \quad \text{（对应目标强度）}
$$
$$
\text{相位} = \arctan(Q/I) \quad \text{（对目标运动极其敏感）}
$$

雷达任务	利用的参量	原理
测距	时间延迟	发射回波时间差
测速	相位变化率	多普勒效应
成像（SAR）	相位历史	不同位置回波的相位差异
动目标检测（MTI）	相位差	静止目标相位不变，运动目标相位变化

3.3.6 I/Q 不平衡问题

在实际硬件中，I 路和 Q 路很难做到完全一致：

幅度不平衡：两路增益不同
相位不平衡：正交角度不是严格的90°

这会引入镜像干扰，需要通过数字校正来补偿。

3.3.7 本节小结

概念	要点
I/Q 解调的目的	同时保留信号的幅度和相位信息
I（同相）	与参考信号同相的分量
Q（正交）	与参考信号相差90°的分量
复数表示	$I + jQ = A e^{j\phi}$，完美描述信号
硬件实现	两路混频 + 低通滤波
DDC	数字下变频，精度高、可编程

3.4 模数转换 ADC

3.4.1 从”数码照片”理解 ADC

生活例子： 传统胶片相机用化学方法记录连续的光影，而数码相机用像素点来”离散化”图像。像素越多（分辨率越高），照片越清晰；每个像素的颜色位数越多（如8位 vs 16位），色彩过渡越细腻。

ADC（Analog-to-Digital Converter，模数转换器） 在雷达中扮演了类似的角色——它把连续的模拟雷达回波信号变成离散的数字信号，让计算机可以进行后续处理。

ADC 有两个核心参数：

采样率（$F_s$）：每秒钟采集多少个样本，单位 Hz
量化位数（$N_{\text{bits}}$）：每个样本用多少位二进制数表示，单位 bit

3.4.2 采样率 —— 欠采样和过采样

根据奈奎斯特采样定理，要无失真地恢复原始信号，采样率必须至少是信号最高频率的两倍：

$$
F_s \geq 2 \times f_{\text{max}} \tag{3.15}
$$

但是在雷达中，情况有些特殊。

雷达信号是窄带信号（信号带宽 $B$ 远小于载频 $f_c$）。对于这种信号，我们可以用 带通采样（也叫欠采样）技术，以远低于载频的采样率来采样，只要采样率满足：

$$
F_s \geq 2B
$$

举例： 雷达载频 $f_c = 70$ MHz，信号带宽 $B = 10$ MHz。如果是基带采样需要 $F_s \geq 140$ MHz，但用带通采样只需要 $F_s \geq 20$ MHz。这大大降低了对 ADC 硬件的要求！

3.4.3 量化位数 —— 动态范围

量化位数决定了 ADC 能区分的信号强度等级：

$$
\text{等级数} = 2^{N_{\text{bits}}}
$$

量化位数	等级数	动态范围	适用场景
8 bit	256	~48 dB	简单雷达
12 bit	4096	~72 dB	中端雷达
14 bit	16384	~84 dB	高端雷达
16 bit	65536	~96 dB	精密雷达

动态范围 是指 ADC 能同时处理的最大信号和最小信号之间的比值。在雷达中，大目标（如客机）的回波和小目标（如无人机）的回波可能相差几个数量级，量化位数不够的话，小目标就会被量化噪声淹没。

3.4.4 采样率与距离分辨率的关系

ADC 的采样率直接决定了雷达的距离分辨率（参见 3.2.5 节）：

$$
\Delta R = \frac{c}{2F_s} \ (\text{当带宽受限时}) \quad \text{或} \quad \Delta R = \frac{c}{2B} \ (\text{一般情况})
$$

采样率 / 带宽	距离分辨率	应用场景
1 MHz	150 m	远程预警雷达
10 MHz	15 m	中程雷达
100 MHz	1.5 m	火控雷达
1 GHz	0.15 m	高分辨成像雷达

3.4.5 ADC 对雷达系统性能的影响

ADC 的两个参数直接约束了雷达的”视力”：

采样率决定”看得多细”（距离分辨率）：采样率越高，距离门越窄，距离分辨率越好
量化位数决定”看得多清”（动态范围）：量化位数越多，弱小目标越不易被噪声淹没

实际权衡：

高采样率 × 高量化位数 = 数据量极大，对存储和传输是巨大挑战
例如：$F_s = 100$ MHz，$N_{\text{bits}} = 14$ bit，数据率 = $100 \times 10^6 \times 14 = 1.4$ Gbps
这就是为什么雷达系统中常用 FPGA 做实时处理，而不是把原始数据全部传回电脑

3.4.6 本节小结

概念	要点
采样率 $F_s$	决定距离分辨率，必须 $\geq 2B$
量化位数 $N_{\text{bits}}$	决定动态范围，每多1bit增加6dB
带通采样	利用信号窄带特性，降低采样率要求
数据率	$F_s \times N_{\text{bits}}$，高速ADC需要FPGA配合

第3章核心公式总结

公式	含义	编号
$R = c \cdot \Delta t / 2$	由时间延迟求距离	(3.1)
$\text{PRF} = 1/\text{PRI}$	脉冲重复频率	(3.2)
$R_{\text{ua}} = c/(2\cdot\text{PRF})$	最大不模糊距离	(3.3)
$\Delta R = c/(2B)$	距离分辨率	(3.8)
$f_d = 2v/\lambda$	多普勒频率	(3.9)
$I + jQ = A e^{j\phi}$	I/Q复数表示	(3.14)
$F_s \geq 2B$	奈奎斯特采样定理	(3.15)

本章学习要点

脉冲雷达的工作方式：发射→等待→接收，类比山谷回声
PRI/PRF 决定了最大不模糊距离，是设计中最重要的权衡之一
快时间-慢时间二维采样是雷达信号处理的基础框架
I/Q 解调让雷达同时获取幅度和相位信息，相位是测速和成像的关键
ADC 的采样率决定距离分辨率，量化位数决定动态范围

本章计算练习题

题1：距离分辨率

一部雷达发射信号带宽 $B = 5\ \text{MHz}$，求该雷达的距离分辨率 $\Delta R$。如果带宽提高到 50 MHz，分辨率提升多少倍？

点击查看解答

$$\Delta R = \frac{c}{2B} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 5 \times 10^6} = 30\ \text{m}$$

带宽 50 MHz 时：
$$\Delta R = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 50 \times 10^6} = 3\ \text{m}$$

分辨率提升了 10 倍。结论：带宽越大，分辨率越高。

题2：最大不模糊距离 vs PRF

一部雷达需要探测 300 km 外的目标，问：(1) PRF 最高能取多少才不产生距离模糊？(2) 如果 PRF 取 500 Hz，最大不模糊距离是多少？

点击查看解答

(1) 不模糊条件：$R_{\max} \ge 300\ \text{km}$

$$\text{PRF}{\max} = \frac{c}{2 \cdot R{\max}} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 300 \times 10^3} = 500\ \text{Hz}$$

(2) 当 PRF = 500 Hz 时：
$$R_{\max} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 500} = 300\ \text{km}$$

正好满足要求。如果想看更远，PRF 还要更低，但这会降低多普勒不模糊范围。

题3：快时间采样与距离门

信号带宽 $B = 10\ \text{MHz}$，基带采样率 $F_s = 10\ \text{MHz}$（$F_s = B$）。PRF = 1 kHz，脉冲覆盖范围 150 km。求：(1) 一个脉冲有多少个距离门？(2) 距离门间隔是多少？

点击查看解答

(1) 一个 PRI 内的时间：$T_{\text{PRI}} = 1/\text{PRF} = 1\ \text{ms}$

覆盖 150 km 需要的采样点数（距离门数）：
$$N_{\text{gate}} = \frac{2 \times R}{c} \times F_s = \frac{2 \times 150 \times 10^3}{3 \times 10^8} \times 10^7 = 10000\ \text{个}$$

(2) 距离门间隔：
$$\Delta R = \frac{c}{2F_s} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^7} = 15\ \text{m}$$

题4：I/Q 解调与复数信号

对中频 $f_I = 30\ \text{MHz}$ 的信号做带通采样，采样率 $f_s = 40\ \text{MHz}$。求采样后信号的频谱位置，并解释如何通过 DDC 得到 I/Q 基带信号。

点击查看解答

带通采样后，$f_I = 30\ \text{MHz}$ 的信号在数字域中的位置：
$$f_{\text{alias}} = |f_I - m \cdot f_s|$$

取 $m = 1$：
$$f_{\text{alias}} = |30 - 40| = 10\ \text{MHz}$$

即 30 MHz 的中频信号被搬移到 10 MHz 的数字中频。

DDC 过程：

数字混频：将 10 MHz 数字中频信号乘以 $\cos(2\pi \cdot 10 \times 10^6 \cdot nT_s)$ 和 $-\sin(2\pi \cdot 10 \times 10^6 \cdot nT_s)$，分别得到 I 路和 Q 路
低通滤波：滤除混频产生的 $2f_I$ 分量
降采样：将数据率降到合适水平

最终输出 I/Q 基带复信号：$s(n) = I(n) + jQ(n)$

预习提示： 下一章我们将学习雷达系统信号模型，包括最重要的雷达方程——它定量描述了”雷达能看到多远的目标”。这是全书最核心的公式之一。

第4章雷达系统信号模型

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节号	内容	难度
4.1	雷达信号表示	★★☆☆☆
4.2	雷达方程（全程详细推导）	★★★★★
4.3	目标起伏模型与RCS	★★★☆☆

4.1 雷达信号表示

4.1.1 从”打篮球”理解信号模型

生活例子： 你朝篮筐投球，球飞出去，命中篮筐后弹回来，你接住球。这个过程中：

你投出的球 = 发射信号
球碰到篮筐弹回 = 目标散射
你接住的球 = 接收信号

球的飞行时间告诉你距离篮筐多远，球弹回来的力度告诉你篮筐的”散射特性”。雷达信号建模就是用来描述这个过程的数学语言。

4.1.2 发射信号模型

脉冲雷达的发射信号可以建模为：

$$
s_T(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{T_p}\right) \cdot \sin(2\pi f_c t) \tag{4.1}
$$

其中矩形脉冲函数定义为：

$$
\text{rect}\left(\frac{t}{T_p}\right) =
\begin{cases}
1, & |t| \leq T_p/2 \
0, & \text{其他}
\end{cases}
\tag{4.2}
$$

公式4.1-4.2符号说明：

$s_T(t)$：发射信号，单位 V（伏特）

$\text{rect}(\cdot)$：矩形函数，描述脉冲的”开关”形状，无量纲

$T_p$：脉冲宽度（发射信号持续时间），单位 s（秒）

$f_c$：载波频率（雷达工作的中心频率），单位 Hz

$t$：时间，单位 s

直观理解： 在 $T_p$ 这段时间内，雷达发射频率为 $f_c$ 的正弦波；$T_p$ 之外，雷达关闭发射机，”听”回波。

4.1.3 接收信号模型

接收信号是发射信号经过传播、目标反射、再传播回来的结果，加上不可避免的噪声：

$$
y(t) = k \cdot A(t - \tau_0) e^{j[2\pi f_c (t - \tau_0) + \phi(t)]} + n(t) \tag{4.3}
$$

公式4.3符号说明：

$y(t)$：接收信号，V

$k$：传播衰减系数（与距离成反比），无量纲

$A(t)$：脉冲包络（弹体形状），无量纲

$\tau_0 = 2R_0 / c$：回波延迟时间，s

$R_0$：目标距离，m

$c$：光速，$3\times 10^8$ m/s

$f_c$：载波频率，Hz

$\phi(t)$：目标反射引入的附加相位，rad

$n(t)$：接收机热噪声和其他干扰

关键概念： 接收信号 = 发射信号的延迟版（延迟 $\tau_0$ 对应目标距离）+ 衰减版（衰减 $k$ 对应目标大小和距离）+ 噪声（无处不在的热噪声）。

4.1.4 目标距离的确定

由延迟时间直接计算距离：

$$
R_0 = \frac{c \cdot \tau_0}{2} \tag{4.4}
$$

这是雷达测距的最基本公式。$\tau_0$ 可以通过测量发射脉冲和接收回波之间的时间差来获得。

4.1.5 本节小结

概念	要点
发射信号	脉冲包络 × 载波正弦波
接收信号	延迟 + 衰减 + 噪声
目标距离	$R_0 = c\tau_0 / 2$

4.2 雷达方程（全书最重要公式）

4.2.1 什么是雷达方程？

生活例子： 你用手电筒在黑夜里找人。手电筒的亮度（发射功率）、手电筒的聚光能力（天线增益）、你的视力（接收灵敏度）共同决定了你最多能照多远。如果那个人站在很远的地方，反射回来的光太弱，你就看不见他。

雷达方程 就是定量描述这个过程的数学公式。它把雷达的所有重要参数汇集在一个公式中，计算出雷达能发现目标的最大距离。

雷达方程的重要性：

系统设计：在造雷达前，先算算能不能达到要求的探测距离
参数分析：哪个参数对探测距离影响最大？天线还是功率？
性能评估：现有雷达能看多远？能发现多大目标？

4.2.2 第一步：发射功率到目标处的功率密度

雷达发射机输出功率为 $P_t$（单位：W，瓦特）。

如果发射机连接的是全向天线（向所有方向均匀辐射），那么在距离 $R$ 处，单位面积上的功率（称为功率密度）为：

$$
S_1’ = \frac{P_t}{4\pi R^2} \tag{4.5}
$$

公式4.5符号说明：

$S_1’$：全向天线时距离R处的功率密度，单位 $W/m^2$

$P_t$：发射机输出功率，W

$R$：距离目标的距离，m

$4\pi R^2$：半径为R的球面面积，$m^2$

物理含义： 发射功率均匀分布在半径为 $R$ 的球面上。距离越远，球面越大，单位面积上的功率就越小——这就是”平方反比”关系。

但雷达天线不是全向的——我们希望能量集中朝向目标方向。天线有一个关键参数——增益 $G$：

$$
S_1 = \frac{P_t G}{4\pi R^2} \tag{4.6}
$$

公式4.6符号说明：

$S_1$：增益天线时目标处的功率密度，$W/m^2$

$G$：天线增益，无量纲（通常用dBi表示）

天线增益的直观理解： 如果说全向天线是”灯泡”，照亮所有方向；那么增益天线就是”手电筒”，把能量集中到特定方向。增益 $G = 100$ 意味着目标方向的功率密度是全向时的100倍。

4.2.3 第二步：目标截获与散射

当电磁波照射到目标（飞机、导弹等）上时，目标会截获一部分能量并向各个方向散射。

目标对电磁波的散射能力用 雷达散射截面积（RCS，Radar Cross Section） 来衡量，记作 $\sigma$，单位是 $m^2$。

RCS 的直观理解： 它相当于目标的”雷达可见面积”。一个金属球可能 RCS = 1 m²，而隐身战机可能只有 RCS = 0.005 m²——即只有拳头大小的金属球那么大。

目标截获的总功率 = 目标处的功率密度 $\times$ RCS：

$$
P_{\text{target}} = S_1 \cdot \sigma = \frac{P_t G \sigma}{4\pi R^2} \tag{4.7}
$$

目标截获这些能量后，再向各个方向散射。在目标处，散射就像一个功率为 $P_{\text{target}}$ 的新发射机。经过距离 $R$ 传播回到雷达接收天线时，功率密度为：

$$
S_2 = \frac{P_{\text{target}}}{4\pi R^2} = \frac{P_t G \sigma}{(4\pi R^2)^2} = \frac{P_t G \sigma}{16\pi^2 R^4} \tag{4.8}
$$

公式4.8符号说明：

$S_2$：回波到达接收天线时的功率密度，$W/m^2$

$\sigma$：目标的雷达散射截面积（RCS），$m^2$

4.2.4 第三步：接收天线截获回波功率

接收天线有一个有效孔径面积 $A_e$（单位：$m^2$），它表示天线”捕捉”电磁波的有效面积。

接收到的回波功率为：

$$
P_r = S_2 \cdot A_e = \frac{P_t G \sigma}{(4\pi)^2 R^4} \cdot A_e \tag{4.9}
$$

公式4.9符号说明：

$P_r$：接收到的回波功率，W

$A_e$：接收天线的有效孔径面积，$m^2$

4.2.5 第四步：天线增益与有效孔径的关系

天线增益 $G$ 和有效孔径 $A_e$ 之间有一个非常重要的关系：

$$
G = \frac{4\pi A_e}{\lambda^2} \tag{4.10}
$$

反过来：

$$
A_e = \frac{G \lambda^2}{4\pi} \tag{4.11}
$$

公式4.10-4.11符号说明：

$\lambda$：电磁波波长，$\lambda = c/f_c$，单位 m

$G$：天线增益，无量纲

$A_e$：有效孔径面积，$m^2$

物理含义： 天线增益越大（越聚焦），等效孔径面积越大；波长越短，对于同样增益的天线，孔径越小。

4.2.6 第五步：代入得到基本雷达方程

将 (4.11) 代入 (4.9)：

$$
\begin{aligned}
P_r &= \frac{P_t G \sigma}{(4\pi)^2 R^4} \cdot \frac{G \lambda^2}{4\pi} \
&= \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4}
\end{aligned}
\tag{4.12}
$$

公式4.12符号说明：

$P_r$：接收功率，W

$P_t$：发射功率，W

$G$：天线增益（收发共用天线时相同），无量纲

$\lambda$：波长，m

$\sigma$：目标 RCS，$m^2$

$R$：目标距离，m

$(4\pi)^3 = 64\pi^3 \approx 1984$，常数因子

这个公式的意义： 接收功率 $P_r$ 和距离 $R$ 的四次方成反比！这意味着距离翻倍，接收功率下降到原来的 $1/16$。这就是为什么雷达要看到更远的目标需要大幅增加功率或天线增益。

4.2.7 第六步：引入系统损耗

实际雷达系统中存在各种损耗，用一个 损耗因子 $L$（$L > 1$）来表示：

$$
P_r = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 L} \tag{4.13}
$$

公式4.13符号说明：

$L$：系统总损耗，无量纲（$L > 1$）

常见损耗来源：

损耗类型	典型值	来源
大气吸收 $L_a$	1.2 dB	电磁波在大气中被吸收
天线损耗 $L_{\text{ant}}$	1.3 dB	天线本身不是理想导体
馈线损耗 $L_f$	1.8 dB	传输线中的能量损耗
接收机噪声 $L_n$	0.8 dB	接收机内部噪声

总损耗 $L$ 是所有分项损耗的乘积（dB 值相加）。

4.2.8 第七步：信噪比形式（SNR）

雷达接收机能否检测到信号，不取决于信号的绝对值，而取决于信号功率与噪声功率的比值——信噪比（SNR）。

接收机噪声功率为：

$$
N = k T B_n F_n \tag{4.14}
$$

公式4.14符号说明：

$N$：噪声功率，W

$k$：玻尔兹曼常数，$1.38 \times 10^{-23}$ J/K（焦耳/开尔文）

$T$：系统温度，K（开尔文），通常取 290 K（室温）

$B_n$：接收机噪声带宽，Hz（通常约等于信号带宽）

$F_n$：接收机噪声系数，无量纲（描述接收机自身引入的额外噪声）

因此，接收信噪比为：

$$
\text{SNR} = \frac{P_r}{N} = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 k T B_n F_n L} \tag{4.15}
$$

公式4.15符号说明：

SNR：信噪比，无量纲（有时用 dB 表示，$10\log_{10}(\text{SNR})$）

$k$：玻尔兹曼常数，$1.38\times 10^{-23}$ J/K

$T$：系统噪声温度，K

$B_n$：噪声带宽，Hz

$F_n$：噪声系数，无量纲

SNR 的物理意义： SNR = 1（即 0 dB）时，信号和噪声一样强，很难检测。实际雷达要求 SNR 在 10~20 dB 之间才能可靠检测。

4.2.9 第八步：最大探测距离

雷达能可靠检测目标所需的最小信噪比称为 $SNR_{\min}$。令 $SNR = SNR_{\min}$，解出 $R$：

$$
R_{\max} = \left[ \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 SNR_{\min} k T B_n F_n L} \right]^{1/4} \tag{4.16}
$$

公式4.16符号说明：

$R_{\max}$：最大探测距离，m

$SNR_{\min}$：最小可检测信噪比（取决于检测概率要求），无量纲

其他符号同前

这个公式太重要了，我们来仔细分析它。

4.2.10 雷达方程的完整推导路线图

为了帮助理解，下面是完整的推导链：

P_t (发射功率)
    ↓ 通过增益天线聚焦
P_t · G / (4πR²) (目标处功率密度)
    ↓ 目标截获并散射（RCS = σ）
P_t · G · σ / (4πR²) (目标散射功率)
    ↓ 回波传播回雷达
P_t · G · σ / (4πR²)² = P_t·G·σ / (16π²R⁴) (接收天线处功率密度)
    ↓ 天线有效孔径 Ae 截获
P_r = P_t·G·σ·Ae / (4π)²R⁴
    ↓ 代入 Ae = Gλ²/4π
P_r = P_t·G²·λ²·σ / (4π)³R⁴
    ↓ 引入系统损耗 L
P_r = P_t·G²·λ²·σ / (4π)³R⁴L
    ↓ 引入噪声（热噪声 kTB_nF_n）
SNR = P_t·G²·λ²·σ / [(4π)³R⁴·kTB_nF_n·L]
    ↓ 令 SNR = SNR_min，解 R
R_max = [P_t·G²·λ²·σ / ((4π)³·SNR_min·kTB_nF_n·L)]^{1/4}

4.2.11 雷达方程的深入分析

(1) 距离的四次方衰减

$R_{\max} \propto P_t^{1/4}$：发射功率翻倍，最大距离只增加约 19%（$2^{1/4} \approx 1.19$）
$R_{\max} \propto G^{1/2}$：天线增益翻倍，最大距离增加约 41%（$2^{1/2} \approx 1.41$）

这意味着：

要提高探测距离，增加天线增益比增加发射功率更有效
要增加距离一倍，功率需要增加16倍！

(2) 脉冲积累效应

实际雷达中，一个 CPI 内包含 $M$ 个脉冲。通过对 $M$ 个脉冲的相参积累，SNR 可以提升 $M$ 倍：

$$
R_{\max} = \left[ \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma M}{(4\pi)^3 SNR_{\min} k T B_n F_n L} \right]^{1/4}
$$

因为积累前 SNR = $P_r / N$，积累后 SNR = $M \cdot P_r / N$。

或者用平均功率 $P_{av} = P_t \cdot T_p / PRI$ 来表示：

$$
R_{\max} = \left[ \frac{P_{av} G^2 \lambda^2 \sigma T_c}{(4\pi)^3 SNR_{\min} k T F_n L} \right]^{1/4}
$$

其中 $T_c = M \cdot PRI$ 是 CPI 的总时间长度，$T_p$ 是子脉冲宽度。

(3) 各参数对最大距离的影响总结

参数	变化	对$R_{\max}$的影响	物理含义
$P_t$	×2	×1.19	功率翻倍，距离增19%
$G$	×2	×1.41	增益翻倍，距离增41%
$\lambda$	×2	×1.19	波长增倍（频率减半），距离增19%
$\sigma$	×2	×1.19	RCS增倍，距离增19%
$SNR_{\min}$	×2	×0.84	要求SNR翻倍，距离减16%
$L$	×2	×0.84	损耗翻倍，距离减16%

4.2.12 雷达方程的应用举例

例题： 某雷达参数如下：

$P_t = 1$ MW（百万瓦）
$G = 40$ dB（即 $10^4$ 倍）
$\lambda = 0.03$ m（对应 $f_c = 10$ GHz，X波段）
$B_n = 5$ MHz
$F_n = 3$ dB（即 2 倍）
$L = 5$ dB（即 3.16 倍）
目标 $\sigma = 1$ m²
$SNR_{\min} = 13$ dB（即 20 倍）

求最大探测距离。

解：

$$
\begin{aligned}
R_{\max} &= \left[ \frac{(10^6)(10^4)^2(0.03)^2(1)}{(4\pi)^3 (20)(1.38\times 10^{-23})(290)(5\times 10^6)(2)(3.16)} \right]^{1/4} \
&\approx \left[ \frac{9\times 10^{13}}{1984 \times 20 \times 1.38\times 10^{-23} \times 290 \times 5\times 10^6 \times 2 \times 3.16} \right]^{1/4} \
&\approx [2.3 \times 10^{20}]^{1/4} \
&\approx 123 \ \text{km}
\end{aligned}
$$

这个雷达对 1 m² 目标的探测距离大约是 123 km。

4.2.13 本节小结

步骤	物理过程	公式
1	发射→目标处功率密度	$S_1 = P_t G / (4\pi R^2)$
2	目标散射	$P_{\text{target}} = S_1 \cdot \sigma$
3	回波回到接收天线	$S_2 = P_{\text{target}} / (4\pi R^2)$
4	天线截获	$P_r = S_2 \cdot A_e$
5	代入 $A_e = G\lambda^2/4\pi$	$P_r = P_t G^2 \lambda^2 \sigma / (4\pi)^3 R^4$
6	引入损耗	$P_r = P_t G^2 \lambda^2 \sigma / (4\pi)^3 R^4 L$
7	信噪比表示	$\text{SNR} = P_r / (k T B_n F_n)$
8	最大距离	$R_{\max} = [\cdots]^{1/4}$

4.3 目标起伏模型与 RCS

4.3.1 什么是 RCS？

生活例子： 在黑暗中用手电筒照一个篮球和一个乒乓球。篮球反射的光远多于乒乓球——因为篮球更大。但如果篮球表面是磨砂的而乒乓球是镜面的呢？有时候小但光滑的物体反而比大但粗糙的物体反射更多光。

雷达散射截面积（RCS） 就是定量描述目标”电磁反射能力”的参数，通常用符号 $\sigma$ 表示，单位是 $m^2$。

RCS 的严格定义是：

$$
\sigma = \lim_{R\to\infty} 4\pi R^2 \frac{|E_s|^2}{|E_i|^2} \tag{4.17}
$$

公式4.17符号说明：

$\sigma$：RCS，$m^2$

$R$：观察点到目标的距离，m

$E_s$：散射电场强度，V/m

$E_i$：入射电场强度，V/m

通俗理解： RCS 相当于目标”看起来”有多大的一块面积在反射电磁波。一个真实的物理面积为 $1$ m² 的金属平板，如果正对雷达，其 RCS 可能达到 $4\pi A^2/\lambda^2$，远大于实际面积——所以雷达能看到”比实际更大”的目标。

4.3.2 典型目标的 RCS 数量级

目标类型	RCS (m²)	RCS (dBsm)	描述
大型客机	100	20 dBsm	波音747等
中型战斗机	3~5	5~7 dBsm	F-16
小型战斗机	1~2	0~3 dBsm	歼-7
大型鸟	0.01	-20 dBsm	可能造成虚警
隐身战机 F-35	0.005	-23 dBsm	相当于一个金属球
F-117	0.003	-25 dBsm	第一代隐身技术
隐身无人机	0.001	-30 dBsm	极难探测

RCS 的 dB 表示： $\sigma_{\text{dBsm}} = 10 \log_{10}[\sigma(m^2)]$
1 m² = 0 dBsm, 0.1 m² = -10 dBsm, 10 m² = +10 dBsm

4.3.3 影响 RCS 的因素

目标尺寸：一般来说尺寸越大，RCS 越大
目标形状：平板 > 球体 > 锥体（同样投影面积）
材料：金属 >> 非金属（导电性越好反射越强）
入射角度：平板正对时 RCS 很大，侧面时很小
频率：不同频率下 RCS 差别很大（谐振效应）

4.3.4 目标散射的三个区域

根据目标尺寸 $a$ 与波长 $\lambda$ 的关系（用 $ka = 2\pi a/\lambda$ 表示）：

区域	$ka$ 范围	RCS 特性	实例
瑞利区	$ka \ll 1$	$\sigma \propto f^4$，随频率急剧变化	雨滴、昆虫
谐振区	$ka \approx 1$	震荡变化，可能大于光学区	小无人机
光学区	$ka \gg 1$	$\sigma \approx \text{投影面积}$，稳定	飞机、导弹

直观理解：

瑞利区：波长远大于目标，绕射为主，散射很弱（就像海浪绕过礁石）
谐振区：波长接近目标尺寸，产生谐振效应
光学区：波长远小于目标，类似光学反射（雷达常用工作区域）

4.3.5 Swerling 目标起伏模型

实际中，目标的 RCS 不是恒定值——它会随着目标姿态角的变化而随机起伏。Swerling 模型 就是描述这种起伏的统计模型。

Swerling 提出了四个标准模型，分为两类（快起伏和慢起伏），每类两种（指数分布和 $\chi^2$ 分布）：

Swerling 1 型：慢起伏，指数分布

RCS 的概率密度函数（PDF）：$p(\sigma) = \frac{1}{\bar{\sigma}} e^{-\sigma/\bar{\sigma}}$
RCS 在整个 CPI 内保持不变（慢起伏）
脉冲到脉冲之间相关
适用场景： 由多个独立散射体构成的复杂目标，如大型飞机

Swerling 2 型：快起伏，指数分布

PDF 与 Swerling 1 相同：$p(\sigma) = \frac{1}{\bar{\sigma}} e^{-\sigma/\bar{\sigma}}$
RCS 在脉冲间独立变化（快起伏）
脉冲到脉冲之间不相关
适用场景： 高速旋转或有快速姿态变化的复杂目标

Swerling 3 型：慢起伏，$\chi^2$ 分布（4 自由度）

PDF：$p(\sigma) = \frac{4\sigma}{\bar{\sigma}^2} e^{-2\sigma/\bar{\sigma}}$
由一个主反射体加上多个小散射体构成
RCS 在整个 CPI 内保持不变
适用场景： 带有大镜面反射的目标，如机翼平面正对雷达

Swerling 4 型：快起伏，$\chi^2$ 分布（4 自由度）

PDF 与 Swerling 3 相同
RCS 在脉冲间独立变化
适用场景： 姿态快速变化、有主反射体的目标

模型	起伏速度	分布	典型目标	检测难度
Swerling 1	慢（CPI内不变）	指数	大型飞机	较难
Swerling 2	快（脉冲间变化）	指数	快速机动目标	较易（得益独立采样）
Swerling 3	慢（CPI内不变）	$\chi^2$ (4自由度)	有主反射体的目标	中等
Swerling 4	快（脉冲间变化）	$\chi^2$ (4自由度)	高速机动且含主反射体	较易

4.3.6 RCS 减缩技术（隐身原理）

隐身技术本质上就是减小 RCS，使雷达方程中的 $\sigma$ 变小，从而缩短探测距离 $R_{\max}$。

主要方法：

外形设计：改变反射方向，不让电磁波返回雷达方向
- 典型：F-117 的多面体设计，F-22/B-2 的平滑曲面
吸波材料：将电磁波能量转化为热能
- 铁氧体涂料、碳纤维复合材料
被动对消：散射波与入射波相位相反，相互抵消
主动对消：发射与回波相位相反的信号

隐身效果估算：

如果目标 RCS 从 1 m² 降到 0.001 m²（降了 1000 倍，即 -30 dB），根据雷达方程：

$$
R_{\max,\text{new}} = R_{\max,\text{old}} \cdot (0.001)^{1/4} \approx R_{\max,\text{old}} \cdot 0.178
$$

即探测距离下降到原来的 17.8%！ 这就是隐身技术的威力——不是让雷达完全看不见，而是让”看见”的距离大幅缩短。

4.3.7 本节小结

概念	要点
RCS ($\sigma$)	目标的电磁可见度，单位 m²
典型 RCS 范围	隐身战机 0.001 m² ~ 大型客机 100 m²
散射三区域	瑞利区 ($ka \ll 1$)、谐振区 ($ka \approx 1$)、光学区 ($ka \gg 1$)
Swerling 1/2	多个独立散射体，指数分布
Swerling 3/4	一个主散射体+多个小散射体，$\chi^2$ 分布
隐身原理	减小 RCS，使探测距离以 $R_{\max} \propto \sigma^{1/4}$ 缩短

第4章核心公式总结

公式	含义	编号
$s_T(t) = \text{rect}(t/T_p)\sin(2\pi f_c t)$	发射信号模型	(4.1)
$R_0 = c\tau_0/2$	由延迟求距离	(4.4)
$S_1 = P_t G/(4\pi R^2)$	目标处功率密度	(4.6)
$P_r = P_t G^2 \lambda^2 \sigma / (4\pi)^3 R^4 L$	基本雷达方程	(4.13)
$N = k T B_n F_n$	噪声功率	(4.14)
$\text{SNR} = P_r / N$	信噪比	(4.15)
$R_{\max} = [\cdots]^{1/4}$	最大探测距离	(4.16)
$\sigma = 4\pi R^2	E_s	^2/

本章学习要点

雷达信号模型：发射=脉冲×载波，接收=延迟+衰减+噪声
雷达方程（全书最重要）：$R_{\max}$ 由 $P_t, G, \lambda, \sigma, SNR_{\min}, T, B_n, F_n, L$ 共同决定
四次方规律：距离翻倍，接收功率下降到 1/16，所以要大幅增加功率才能看到更远
天线增益最关键：$R_{\max} \propto G^{1/2}$（比功率的 $P_t^{1/4}$ 更有效）
脉冲积累：积累 M 个脉冲，SNR 提升 M 倍
Swerling 模型：描述 RCS 起伏，影响检测概率

本章计算练习题

题1：雷达接收功率计算

一部雷达发射功率 $P_t = 100\ \text{kW}$，发射天线增益 $G = 30\ \text{dB}$，目标 RCS $\sigma = 1\ \text{m}^2$，目标距离 $R = 50\ \text{km}$，雷达波长 $\lambda = 0.1\ \text{m}$，系统损耗 $L = 2\ \text{dB}$。计算接收到的回波功率 $P_r$。

点击查看解答

将 dB 值转换为线性值：

$G_{\text{lin}} = 10^{30/10} = 1000$
$L_{\text{lin}} = 10^{2/10} \approx 1.585$

代入雷达方程：
$$P_r = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 L}$$

$$P_r = \frac{100 \times 10^3 \times (1000)^2 \times (0.1)^2 \times 1}{(4\pi)^3 \times (50 \times 10^3)^4 \times 1.585}$$

逐步计算：

$P_t G^2 = 10^5 \times 10^6 = 10^{11}$
$\lambda^2 \sigma = 0.01 \times 1 = 0.01$
分子：$10^{11} \times 0.01 = 10^9$
$(4\pi)^3 \approx 1984.4$
$R^4 = (50000)^4 = 6.25 \times 10^{18}$
分母：$1984.4 \times 6.25 \times 10^{18} \times 1.585 \approx 1.966 \times 10^{22}$

$$P_r \approx \frac{10^9}{1.966 \times 10^{22}} \approx 5.09 \times 10^{-14}\ \text{W}$$

即约 $5 \times 10^{-14}\ \text{W}$，非常微弱！

题2：最大探测距离

条件同题1，已知接收机噪声系数 $F_n = 3\ \text{dB}$，噪声带宽 $B_n = 1\ \text{MHz}$，系统温度 $T = 290\ \text{K}$，最小可检测 SNR 为 13 dB。计算最大探测距离 $R_{\max}$。

点击查看解答

噪声功率：
$$N = k T B_n F_n$$

$k = 1.38 \times 10^{-23}$，$F_{n,\text{lin}} = 10^{3/10} \approx 2$

$$N = 1.38 \times 10^{-23} \times 290 \times 10^6 \times 2 = 8.004 \times 10^{-15}\ \text{W}$$

最小可检测信号功率：
$$\text{SNR}_{\min,\text{lin}} = 10^{13/10} \approx 20$$

$$P_{\min} = N \cdot \text{SNR}_{\min} = 8.004 \times 10^{-15} \times 20 = 1.601 \times 10^{-13}\ \text{W}$$

最大探测距离：
$$R_{\max} = \left[\frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 P_{\min} L}\right]^{1/4}$$

$$R_{\max} = \left[\frac{10^9}{1984.4 \times 1.601 \times 10^{-13} \times 1.585}\right]^{1/4}$$

$$R_{\max} \approx \left[\frac{10^9}{5.04 \times 10^{-10}}\right]^{1/4} = [1.985 \times 10^{18}]^{1/4}$$

$$R_{\max} \approx 3.76 \times 10^4\ \text{m} \approx 37.6\ \text{km}$$

题3：脉冲积累对 SNR 的提升

条件同题1，如果对 $M = 16$ 个脉冲做相参积累，问：(1) SNR 提升多少 dB？(2) 新 SNR 下的最大探测距离是多少？

点击查看解答

(1) 相参积累 M 个脉冲，SNR 提升 M 倍：
$$\text{SNR 提升} = 10\log_{10}(16) = 12.04\ \text{dB}$$

(2) 积累后等效 $P_{\min}$ 降低为原来的 $1/16$：
$$P_{\min}’ = P_{\min}/16 = 1.001 \times 10^{-14}\ \text{W}$$

新最大探测距离：
$$R_{\max}’ = \left[\frac{10^9}{1984.4 \times 1.001 \times 10^{-14} \times 1.585}\right]^{1/4}$$

$$R_{\max}’ \approx \left[\frac{10^9}{3.15 \times 10^{-11}}\right]^{1/4} = [3.175 \times 10^{19}]^{1/4}$$

$$R_{\max}’ \approx 7.5 \times 10^4\ \text{m} = 75\ \text{km}$$

积累 16 个脉冲使探测距离从 37.6 km 提升到 75 km，翻了一倍！

题4：RCS 与隐身

一架战斗机 RCS 为 $5\ \text{m}^2$，经过隐身设计后 RCS 降为 $0.1\ \text{m}^2$。问：(1) 回波功率降低了多少 dB？(2) 在其他条件不变时，最大探测距离变为原来的多少？

点击查看解答

(1) 回波功率与 RCS 成正比：
$$\Delta P_r = 10\log_{10}\left(\frac{0.1}{5}\right) = 10\log_{10}(0.02) \approx -17\ \text{dB}$$

回波功率下降了约 17 dB（即原来的 1/50）。

(2) 最大探测距离与 RCS 的 1/4 次方成正比：
$$\frac{R_{\max}’}{R_{\max}} = \left(\frac{\sigma’}{\sigma}\right)^{1/4} = \left(\frac{0.1}{5}\right)^{1/4} = (0.02)^{1/4} \approx 0.376$$

隐身设计使探测距离降到原来的约 37.6%。如果原来能探测 200 km，现在只能探测 75 km。

预习提示： 下一章我们将学习如何通过设计特殊的发射波形（如线性调频信号）来同时实现远距离探测和高距离分辨率——这就是 脉冲压缩 技术。

第5章雷达波形与脉冲压缩

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节号	内容	难度
5.1	匹配滤波器	★★★★☆
5.2	模糊函数	★★★★☆
5.3	脉冲压缩	★★★☆☆
5.4	线性调频信号（LFM）	★★★★★
5.5	距离分辨率	★★★☆☆

5.1 匹配滤波器

5.1.1 从”听诊器”理解匹配滤波器

生活例子： 医生用听诊器听心跳时，听诊器专门针对心跳声的频率范围做了优化——它”匹配”了心跳声的特征。同样，如果你在嘈杂的房间里听一个特定的歌曲，你的大脑会自动地”匹配”这首歌的旋律，即使周围很吵也能听出来。

匹配滤波器（Matched Filter） 在雷达中扮演了类似的角色——它是一个专门针对已知发射信号设计的滤波器，能在噪声中最大化输出信噪比（SNR），让雷达尽可能精确地检测到回波信号。

5.1.2 匹配滤波器的数学定义

给定发射信号 $s(t)$，匹配滤波器的冲激响应是：

$$
h(t) = K \cdot s(t_0 - t) \tag{5.1}
$$

在频域中：

$$
H(f) = K \cdot S^*(f) e^{-j2\pi f t_0} \tag{5.2}
$$

公式5.1-5.2符号说明：

$h(t)$：匹配滤波器的冲激响应

$H(f)$：匹配滤波器的频率响应

$s(t)$：发射信号（已知的参考信号）

$S(f)$：发射信号的频谱（傅里叶变换）

$S^*(f)$：$S(f)$ 的复共轭

$t_0$：输出达到最大信噪比的时刻，通常取脉冲结束时刻

$K$：常数增益因子，不影响SNR

直观理解： 匹配滤波器的冲激响应是发射信号的时间反转 + 共轭 + 移位。这意味着滤波器会”等待”信号到达，然后和信号”对齐”，产生最大的响应。

5.1.3 为什么匹配滤波器能使 SNR 最大？

数学推导（感兴趣的可以仔细读，跳过不影响理解后续内容）：

接收信号由两部分组成：$y_{\text{in}}(t) = s(t) + n(t)$，其中 $n(t)$ 是白噪声（功率谱密度 $N_0/2$）。

经过滤波器 $h(t)$ 后，输出为：

$$
y_{\text{out}}(t) = y_{\text{in}}(t) * h(t) = s(t) * h(t) + n(t) * h(t) = y_s(t) + n_{\text{out}}(t)
$$

在 $t = t_0$ 时刻，输出信噪比为：

$$
\text{SNR} = \frac{|y_s(t_0)|^2}{E[|n_{\text{out}}(t)|^2]}
$$

利用施瓦兹不等式可以证明，当 $h(t) = K \cdot s(t_0 - t)$ 时，SNR 取得最大值：

$$
\text{SNR}_{\max} = \frac{2E}{N_0} \tag{5.3}
$$

公式5.3符号说明：

$\text{SNR}_{\max}$：最大输出信噪比，无量纲

$E = \int |s(t)|^2 dt$：信号能量，J（焦耳）

$N_0$：输入白噪声的功率谱密度，W/Hz

结论很简单： 匹配滤波器输出的最大信噪比只取决于信号能量和噪声谱密度，与信号的具体形状无关！你发什么”形状”的脉冲，就用什么”形状”的匹配滤波器。

5.1.4 匹配滤波器的输出

当输入信号 $s(t)$ 通过匹配滤波器 $h(t)$ 后，输出是信号的自相关函数：

$$
y_s(t) = s(t) * h(t) = K \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) s^*(\tau - (t - t_0)) d\tau = K \cdot R_{ss}(t - t_0) \tag{5.4}
$$

公式5.4符号说明：

$y_s(t)$：匹配滤波器输出

$R_{ss}(\cdot)$：信号的自相关函数

$*$ 表示卷积运算

关键点： 匹配滤波器的输出就是发射信号的自相关函数。自相关函数在零延迟处（$\tau = 0$）取最大值——这就是为什么 $t_0$ 时刻输出最大。

5.1.5 一个例子：矩形脉冲的匹配滤波

假设发射信号是一个简单的矩形脉冲：

$$
s(t) =
\begin{cases}
1, & 0 \leq t \leq T_p \
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$

匹配滤波器：

$$
h(t) = s(T_p - t) =
\begin{cases}
1, & 0 \leq t \leq T_p \
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$

输出是一个三角形脉冲：

$$
y_s(t) =
\begin{cases}
t, & 0 \leq t \leq T_p \
2T_p - t, & T_p \leq t \leq 2T_p \
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$

物理意义： 输出峰值出现在 $t = T_p$ 时刻，峰值幅度为 $T_p$，信噪比最大。

5.1.6 匹配滤波器的数字实现

在实际系统中，匹配滤波器有两种实现方式：

1. 时域卷积（适用于短脉冲）：

$$
y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] \cdot h[n-k]
$$

直接计算，复杂度 $O(N^2)$。

2. 频域相乘（适用于长脉冲）：

FFT(x) → X(f)
FFT(h) → H(f)
Y(f) = X(f) · H(f)
IFFT(Y) → y(t)

复杂度 $O(N\log N)$，比时域卷积快得多。

5.1.7 多普勒失配对匹配滤波器的影响

如果目标运动，回波信号除了时间延迟外，还带有多普勒频移 $f_d$：

$$
s’(t) = s(t) e^{j2\pi f_d t}
$$

此时匹配滤波器的输出为：

$$
y(t; f_d) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) e^{j2\pi f_d \tau} s^*(\tau - (t - t_0)) d\tau
$$

结论： 如果 $f_d$ 很大，匹配滤波器的输出峰值会下降，这意味着运动目标可能导致检测性能下降。这就是为什么我们需要在慢时间维做多普勒滤波（补偿）。

5.1.8 本节小结

概念	要点
匹配滤波器	最大化输出SNR的最优滤波器
冲激响应	$h(t) = K \cdot s(t_0 - t)$，信号的时间反转
最大SNR	$\text{SNR}_{\max} = 2E/N_0$，只取决于信号能量
输出	信号的自相关函数
实现	时域卷积（短脉冲）或频域相乘（长脉冲）
多普勒失配	运动目标导致输出峰值下降

5.2 模糊函数

5.2.1 从”近视眼看视力表”理解模糊函数

生活例子： 你去测视力，医生让你看视力表上的”C”字（缺口方向）。如果你的近视度数不高，你能清楚分辨缺口的朝向——这是”高分辨率”。但如果度数很高，你看到的只是一团模糊的圆环——缺口在哪里完全分辨不出来。

雷达也有类似的问题： 如果两个目标靠得很近，雷达能分辨出是两个独立目标吗？如果两个目标速度很接近，雷达能区分它们的多普勒频率吗？

模糊函数（Ambiguity Function） 就是回答这些问题的数学工具。它描述了雷达波形在距离（时延） 和速度（多普勒） 两个维度上的分辨能力。

5.2.2 模糊函数的定义

模糊函数定义为匹配滤波器输出（经适当归一化）的平方幅度：

$$
|\chi(\tau, f_d)|^2 = \left| \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s^*(t + \tau) e^{j2\pi f_d t} dt \right|^2 \tag{5.5}
$$

公式5.5符号说明：

$\chi(\tau, f_d)$：模糊函数（复数值）

$\tau$：时延差（对应目标间的距离差），s

$f_d$：多普勒频率差（对应目标间的速度差），Hz

$s(t)$：发射信号的复包络

$s^*(t)$：复共轭

通俗理解： 模糊函数描述了当真实目标在 $(\tau=0, f_d=0)$ 时，雷达”认为”目标也可能在 $(\tau, f_d)$ 处的”模糊程度”。

5.2.3 模糊函数的性质

原点最大值： $|\chi(0, 0)|^2 = E^2$（E 为信号能量），模糊函数在原点的值最大
体积不变性： $\iint |\chi(\tau, f_d)|^2 d\tau df_d = E^2$，模糊函数曲线下的体积是常数
对称性： $|\chi(-\tau, -f_d)| = |\chi(\tau, f_d)|$
零多普勒切片： $|\chi(\tau, 0)|$ 反映了距离分辨能力
零时延切片： $|\chi(0, f_d)|$ 反映了速度（多普勒）分辨能力

5.2.4 理想模糊函数：”图钉形”

理想的模糊函数形状是图钉形（Thumbtack）：

在原点处有一个非常尖锐的峰值（高分辨率）
其他地方非常平坦且接近零（无模糊、低旁瓣）

图钉形的含义：

特性	要求	理想值
距离分辨率	零多普勒切片的主瓣宽度	$\rightarrow 0$
多普勒分辨率	零时延切片的主瓣宽度	$\rightarrow 0$
距离模糊	时延轴上的旁瓣	$\rightarrow 0$
多普勒模糊	频率轴上的旁瓣	$\rightarrow 0$
总体积	曲线下的面积	常数（不可改变）

但是，由于体积不变性，你不能同时让所有旁瓣都为零。这是雷达波形设计的根本约束——“不确定性原理”：总能量是固定的，你必须在分辨率、旁瓣水平之间做权衡。

5.2.5 简单脉冲的模糊函数

对于宽度为 $T_p$ 的简单矩形脉冲，其模糊函数为：

$$
|\chi(\tau, f_d)| = \left| \left(1 - \frac{|\tau|}{T_p}\right) \frac{\sin[\pi f_d (T_p - |\tau|)]}{\pi f_d (T_p - |\tau|)} \right|, \quad |\tau| \leq T_p
$$

零多普勒切片（$\tau$轴，对应距离）：

$$
|\chi(\tau, 0)| = 1 - \frac{|\tau|}{T_p}, \quad |\tau| \leq T_p
$$

这是一个三角形。其3dB宽度（即半功率宽度）决定了距离分辨率：$\tau_{\text{3dB}} \approx T_p$，所以 $\Delta R = c \cdot T_p / 2$。脉宽越宽，距离分辨率越差！

零时延切片（$f_d$轴，对应多普勒/速度）：

$$
|\chi(0, f_d)| = \left| \frac{\sin(\pi f_d T_p)}{\pi f_d T_p} \right|
$$

这是一个 sinc 函数。其3dB宽度决定了多普勒分辨率：$f_{d,\text{3dB}} \approx 1/T_p$。脉宽越宽，多普勒分辨率越好！

简单脉冲的矛盾：

参数	宽脉冲	窄脉冲
距离分辨率	差（$\Delta R$ 大）	好（$\Delta R$ 小）
多普勒分辨率	好（$\Delta f_d$ 小）	差（$\Delta f_d$ 大）
探测距离	远（平均功率高）	近（峰值功率受限）

这就是矛盾所在： 宽脉冲有利于探测远距离目标和高多普勒分辨率，但损失了距离分辨率。反之亦然。如何同时得到远距离和高距离分辨率？答案就是 脉冲压缩。

5.2.6 本节小结

概念	要点
模糊函数	描述雷达在距离-多普勒二维的分辨能力
理想形状	图钉形——尖锐峰值 + 平坦旁瓣
体积不变性	能量固定，分辨率与旁瓣需权衡
简单脉冲矛盾	宽脉冲→远距离但差分辨率，窄脉冲→近距离但高分辨率

5.3 脉冲压缩

5.3.1 为什么需要脉冲压缩？

核心矛盾回顾：

从上节我们知道，简单脉冲有两个相互矛盾的指标：

$$
\begin{aligned}
\text{最大探测距离} &\propto T_p \quad (\text{脉宽越大，能量越大，看得越远}) \
\text{距离分辨率} &\propto \frac{1}{T_p} \quad (\text{脉宽越大，分辨率越差})
\end{aligned}
$$

生活例子： 假设你要在远处敲钟。用力敲一次（宽脉冲），声音大传得远，但你听不出这一声是来自一口钟还是两口紧挨着的钟——因为声音太长，重叠了。轻敲一下（窄脉冲），你能分辨出两口钟，但声音太小传不远。

脉冲压缩 就是解决这个矛盾的技术：发射宽脉冲（远距离），通过特殊设计让宽脉冲内部携带”变化”（如频率变化），接收后用一个匹配滤波器把宽脉冲”压缩”成窄脉冲（高分辨率）。

核心思想：

发射时：用宽脉冲获得大能量（看得远）
接收后：用匹配滤波器把脉宽压缩（分辨率高）
关键条件：时宽带宽积 $BT \gg 1$

5.3.2 脉冲压缩比

脉冲压缩的效果用 压缩比 来衡量：

$$
\text{压缩比} = \frac{\text{输入脉宽}}{\text{输出脉宽}} = \frac{T_p}{\tau_{\text{out}}} = B \cdot T_p \tag{5.6}
$$

公式5.6符号说明：

$T_p$：发射脉冲宽度（输入/发射时的宽度），s

$\tau_{\text{out}}$：压缩后的脉冲宽度（输出/接收后的宽度），s

$B$：信号带宽，Hz

$B \cdot T_p$：时宽带宽积（Time-Bandwidth Product），无量纲

举例： 发射脉宽 $T_p = 100$ μs，信号带宽 $B = 10$ MHz，则：

压缩比 $= BT_p = 10^7 \times 10^{-4} = 1000$
输出脉宽 $\tau_{\text{out}} = 100$ μs / 1000 = 0.1 μs
距离分辨率 $\Delta R = c \cdot \tau_{\text{out}} / 2 = 3\times 10^8 \times 10^{-7} / 2 = 15$ m

相当于： 用 100 μs 的宽脉冲发射（能量大，看得远），得到了 0.1 μs 脉冲的分辨率（15米，高分辨率）。效果相当于把脉冲压缩了 1000 倍！

5.3.3 匹配滤波器实现脉冲压缩

脉冲压缩正是通过匹配滤波器来实现的。回顾第5.1节：

发射一个大时宽带宽积的调制信号（如 LFM）
接收端使用匹配滤波器（匹配发射信号的特性）
输出是信号的自相关函数——是一个被压缩成窄脉冲的信号

脉冲压缩的过程：

发射: 宽脉冲 s(t)  （脉宽 T_p，带宽 B）
       ↓
传输: 遇到目标，回波 s(t - τ)
       ↓
接收: 经过匹配滤波器 h(t) = K · s(t_0 - t)
       ↓
输出: 自相关函数 R_ss(t - t_0) （脉宽 1/B，窄脉冲！）

5.3.4 为什么要大时宽带宽积？

回忆简单矩形脉冲：

时宽 = $T_p$
带宽 ≈ $1/T_p$
时宽带宽积 $BT_p \approx 1$，无法压缩

要使匹配滤波器能压缩脉冲，需要信号内部有”变化”（调制），使得 时宽带宽积 $BT_p \gg 1$。

信号类型	时宽 $T_p$	带宽 $B$	$BT_p$	可压缩？
简单矩形脉冲	10 μs	~0.1 MHz	~1	否
线性调频（LFM）	100 μs	10 MHz	1000	是（压缩比1000）
相位编码	100 μs	10 MHz	1000	是（压缩比1000）

5.3.5 脉冲压缩的两种实现方式

方式一：时域卷积（匹配滤波）

$$
y(t) = s_r(t) * h(t) = \int s_r(u) h(t-u) du
$$

适合脉冲长度较短的情况
计算量 $O(N^2)$

方式二：频域相乘（FFT方法）

1
2
3

s_r(t) → FFT → S_r(f)
h(t) → FFT → H(f)
Y(f) = S_r(f) · H(f) → IFFT → y(t)

适合脉冲长度较长的情况
计算量 $O(N\log N)$，快得多

5.3.6 脉冲压缩的旁瓣问题

匹配滤波器的输出是自相关函数，对于 LFM 信号，输出近似为 sinc 函数。sinc 函数的第一旁瓣仅比主瓣低约 13 dB——这意味着强目标旁边的弱目标可能被旁瓣淹没。

解决方法：加窗（加权）

在匹配滤波前对信号加窗（如汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗等），可以压制旁瓣：

窗函数	第一旁瓣	主瓣展宽	SNR损失
矩形（不加窗）	-13 dB	1.0×	0 dB
汉明窗（Hamming）	-43 dB	1.5×	~1.4 dB
汉宁窗（Hanning）	-32 dB	1.6×	~1.8 dB
布莱克曼窗（Blackman）	-58 dB	1.9×	~2.4 dB

权衡： 加窗降低了旁瓣，但主瓣展宽（分辨率下降）且SNR有损失。

5.3.7 本节小结

概念	要点
脉冲压缩动机	解决”远距离”与”高分辨率”的矛盾
核心条件	时宽带宽积 $BT_p \gg 1$
压缩比	$BT_p$，可达到数百到数千倍
实现方式	匹配滤波（时域卷积或频域相乘）
旁瓣抑制	加窗处理，但会损失分辨率和SNR

5.4 线性调频信号（LFM）

5.4.1 什么是线性调频信号？

生活例子： 想象一个口哨，你吹的时候音调从低到高连续变化（像警笛声）。这就是频率随时间线性变化的信号——这就是线性调频（LFM, Linear Frequency Modulation） 信号，也叫 Chirp 信号。

LFM 是脉冲压缩中最常用的波形。它的核心思想是：在宽脉冲内让频率线性变化，这样不同的时间片段对应不同的频率，从而”标记”了脉冲内部的时间信息。

5.4.2 LFM 信号的数学表达式

LFM 信号的复数表达式为：

$$
s(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{T_p}\right) \cdot \exp\left(j\pi K t^2\right) \tag{5.7}
$$

其中调频斜率 $K$ 定义为：

$$
K = \frac{B}{T_p} \tag{5.8}
$$

公式5.7-5.8符号说明：

$s(t)$：LFM 信号的复包络

$\text{rect}(t/T_p)$：矩形脉冲，宽度 $T_p$

$\exp(j\pi K t^2)$：二次相位项，产生线性调频

$K$：调频斜率，单位 Hz/s

$B$：信号带宽，Hz

$T_p$：脉冲宽度，s

信号的瞬时频率：

$$
f_i(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt}[\pi K t^2] = Kt = \frac{B}{T_p} t \tag{5.9}
$$

直观理解： 在脉冲开始时 ($t = -T_p/2$)，瞬时频率为 $-B/2$；在脉冲结束时 ($t = T_p/2$)，瞬时频率为 $B/2$。频率在整个脉冲宽度内线性地从低频扫到高频，扫过的总范围是 $B$。

5.4.3 LFM 信号的波形特征

幅度:     _______________               (矩形包络)
            /                \
频率:    /                    \         (线性变化)
         /    斜率 = K         \
        /______           ______\
          t = -T_p/2      t = T_p/2
          f = -B/2        f = B/2

时域波形：

幅度恒定（矩形包络）
频率线性变化（从低频到高频，或从高频到低频）
相位是时间的二次函数 $\phi(t) = \pi K t^2$

频域波形（大 $BT_p$ 时）：

幅度谱近似为矩形，范围在 $[-B/2, B/2]$
相位谱近似为二次函数
当 $BT_p \geq 100$ 时，幅度谱非常接近矩形

5.4.4 LFM 信号的匹配滤波输出

LFM 信号通过匹配滤波器后的输出为：

$$
y(t) \approx \sqrt{BT_p} \cdot \frac{\sin(\pi B t)}{\pi B t} = \sqrt{BT_p} \cdot \text{sinc}(Bt) \tag{5.10}
$$

公式5.10符号说明：

$y(t)$：匹配滤波器输出幅度

$\sqrt{BT_p}$：压缩后的峰值幅度增益（相比输入）

$\text{sinc}(Bt)$：sinc 函数形状，主瓣宽度约 $1/B$

关键结论：

幅度增益：输出峰值幅度是输入的 $\sqrt{BT_p}$ 倍（功率增益为 $BT_p$ 倍）
脉冲压缩：输出脉宽约 $1/B$，比输入脉宽 $T_p$ 缩小了 $BT_p$ 倍
第一旁瓣：约 -13 dB（相对主瓣）

5.4.5 LFM 信号的模糊函数

LFM 信号的模糊函数有一个重要特征——距离-多普勒耦合：

$$
|\chi(\tau, f_d)| \approx \left| \left(1 - \frac{|\tau|}{T_p}\right) \frac{\sin[\pi(B\tau - f_d T_p)(1 - |\tau|/T_p)]}{\pi(B\tau - f_d T_p)(1 - |\tau|/T_p)} \right|
$$

表现为： 模糊函数的峰值沿着 $\tau = f_d/K$ 的斜线延伸，而不是在原点处垂直/水平对称。

这意味着：

如果目标有速度（多普勒偏移 $f_d$），匹配滤波器的输出峰值会发生时间偏移 $\Delta\tau = f_d/K$
这会导致距离测量误差：把运动目标的距离测偏了 $\Delta R = c \cdot f_d / (2K)$

距离-多普勒耦合的物理理解： 因为 LFM 信号的频率随时间变化，多普勒频移使回波的频率发生偏移，匹配滤波器”误以为”这个频移是来自于某个时间点的信号，从而产生了时间（距离）偏移。

如何消除？

上/下扫频联合处理（发射两个方向的 LFM，取平均）
先做多普勒补偿再做脉冲压缩

5.4.6 LFM 信号参数设计实例

例题： 设计一个 LFM 脉冲压缩雷达，要求：

距离分辨率 $\Delta R \leq 1.5$ m
最大探测距离 $R_{\max} \geq 150$ km

设计步骤：

步骤1：确定带宽

$$
\Delta R = \frac{c}{2B} \quad \Rightarrow \quad B = \frac{c}{2\Delta R} = \frac{3\times 10^8}{2 \times 1.5} = 100 \text{ MHz}
$$

步骤2：确定脉宽

为了看到 150 km 的目标，脉冲能量要够大。假设发射峰值功率为 1 MW：

$$
E = P_t \cdot T_p = 10^6 \cdot T_p
$$

如果接收灵敏度要求 $SNR_{\min} = 13$ dB，利用雷达方程算出需要的脉冲能量，反推 $T_p$。

假设算出来需要的脉宽为 100 μs：

步骤3：计算压缩比

$$
\text{压缩比} = B \cdot T_p = 100 \times 10^6 \times 100 \times 10^{-6} = 10000
$$

结论： 发射 100 μs 的宽脉冲（能量大，看得远），经过脉冲压缩后等效于 0.01 μs 的窄脉冲（$\Delta R = 1.5$ m，分辨率高）。压缩比达到 10000 倍！

参数	值
脉冲宽度 $T_p$	100 μs
信号带宽 $B$	100 MHz
调频斜率 $K$	$10^{12}$ Hz/s
压缩比 $BT_p$	10000
距离分辨率 $\Delta R$	1.5 m

5.4.7 LFM 信号的脉冲压缩性能

时宽带宽积 $BT_p$	压缩比	SNR 增益（dB）	距离分辨率
10	10	10 dB	$c/(2B)$
100	100	20 dB	$c/(2B)$
1000	1000	30 dB	$c/(2B)$
10000	10000	40 dB	$c/(2B)$

注意： 距离分辨率只取决于带宽 $B$，与脉宽 $T_p$ 无关！这就是脉冲压缩的解耦效果——用宽脉冲获得大能量，用大带宽获得高分辨率。

5.4.8 LFM 的变体：非线性调频（NLFM）

LFM 的一个缺点是旁瓣较高（-13 dB）。为了解决这个问题，可以设计非线性调频（NLFM） 信号，让调频斜率不是常数，而是按照特定函数变化。

NLFM 的优点：

不需要加窗就能获得低旁瓣（避免加窗导致的 SNR 损失）
旁瓣可以做到 -40 dB 以下

NLFM 的缺点：

对多普勒频率更敏感（运动目标性能下降明显）
产生和处理的复杂度稍高

5.4.9 本节小结

概念	要点
LFM 定义	频率随时间线性变化，$f_i(t) = Kt$
数学形式	$s(t) = \text{rect}(t/T_p) \cdot \exp(j\pi K t^2)$
关键参数	带宽 $B$、脉宽 $T_p$、调频斜率 $K = B/T_p$
压缩输出	$\text{sinc}(Bt)$ 函数，脉宽 $1/B$
距离-多普勒耦合	运动目标会导致距离测量偏差
NLFM	非线性调频，低旁瓣，但对多普勒更敏感

5.5 距离分辨率

5.5.1 什么是距离分辨率？

生活例子： 你用两只笔在纸上画两条平行线。如果两条线靠得很近（比如 0.1 mm），你用肉眼就无法区分它们是两条线——你看到的就是一条粗线。只有当距离超过某个阈值，你才能看出是两条线。

雷达的距离分辨率 就是雷达能把两个相邻目标区分开的最小距离。如果两个目标之间的距离小于分辨率，雷达就会把它们”看成”一个目标。

5.5.2 距离分辨率的公式

脉冲压缩雷达的距离分辨率由信号带宽决定：

$$
\Delta R = \frac{c}{2B} \tag{5.11}
$$

公式5.11符号说明：

$\Delta R$：距离分辨率，m

$c$：光速，$3\times 10^8$ m/s

$B$：信号带宽，Hz

对于未经脉冲压缩的简单脉冲：

$$
\Delta R = \frac{c T_p}{2} \tag{5.12}
$$

公式5.12符号说明：

$T_p$：脉冲宽度，s

5.5.3 为什么带宽决定分辨率？

从匹配滤波器的输出我们知道，压缩后的脉冲形状是 $\text{sinc}(Bt)$。两个相距 $\Delta\tau$ 的目标的回波经过匹配滤波后，在时间轴上会产生两个 $\text{sinc}$ 峰。要区分这两个峰，需要满足 Rayleigh 准则：一个峰的主瓣峰值落在另一个峰的第一零点位置。

第一零点在 $t = \pm 1/B$ 处，所以时间分辨率为 $1/B$，对应距离：

$$
\Delta R = \frac{c}{2} \cdot \frac{1}{B} = \frac{c}{2B}
$$

直观理解： 带宽越大，信号在频域覆盖的范围越宽，压缩后的脉冲就越窄（$\text{sinc}$ 函数主瓣更窄），两个目标就越容易区分。

5.5.4 典型分辨率数值

带宽 $B$	距离分辨率 $\Delta R$	典型应用
1 MHz	150 m	远程警戒雷达
10 MHz	15 m	中程监视雷达
50 MHz	3 m	火控雷达
100 MHz	1.5 m	高分辨雷达
500 MHz	0.3 m	成像雷达（SAR）
1 GHz	0.15 m	超高分辨雷达
10 GHz	0.015 m (1.5 cm)	毫米波雷达

5.5.5 提高距离分辨率的途径

提高距离分辨率只有一个途径：增加信号带宽。

方法	实现方式	典型带宽
短脉冲	直接发射窄脉冲	受限于峰值功率
LFM 脉冲压缩	线性调频	可达 GHz 级
相位编码	巴克码、M序列	子脉冲带宽
步进频	多个频率脉冲合成大带宽	可达 GHz 级

5.5.6 距离分辨率的物理限制

增加带宽会遇到一些现实限制：

频谱资源：无线电频率资源有限，需要申请频段
硬件带宽：发射机、接收机、ADC 都有带宽限制
大气吸收：某些频段（如 60 GHz、120 GHz）大气吸收极强
采样率：ADC 采样率需要至少等于带宽

5.5.7 距离分辨率的意义

为什么距离分辨率这么重要？

目标识别：高分辨率可以分辨目标的细节结构（如飞机机翼、发动机）
杂波抑制：窄距离门减少了每个门内的杂波总量
多目标区分：在密集目标环境中区分不同目标
成像：SAR/ISAR 成像的核心就是距离向的高分辨率
精确制导：精确的目标距离信息用于导弹制导

5.5.8 本节小结

概念	要点
距离分辨率 $\Delta R$	雷达能区分两个相邻目标的最小距离
决定因素	信号带宽 $B$，$\Delta R = c/(2B)$
与脉宽解耦	脉冲压缩后，分辨率与 $T_p$ 无关
物理限制	频谱资源、硬件带宽、大气吸收
意义	目标识别、杂波抑制、成像的基础

第5章核心公式总结

公式	含义	编号
$h(t) = K \cdot s(t_0 - t)$	匹配滤波器冲激响应	(5.1)
$\text{SNR}_{\max} = 2E/N_0$	最大输出信噪比	(5.3)
$\chi(\tau, f_d)$	模糊函数定义	(5.5)
$BT_p \gg 1$	脉冲压缩条件	(5.6)
$\text{压缩比} = BT_p$	脉冲压缩比	(5.6)
$s(t) = \text{rect}(t/T_p) \cdot e^{j\pi K t^2}$	LFM信号	(5.7)
$K = B/T_p$	调频斜率	(5.8)
$f_i(t) = Kt$	瞬时频率	(5.9)
$\Delta R = c/(2B)$	距离分辨率	(5.11)

本章学习要点

匹配滤波器是最优线性滤波器，最大化输出SNR，其冲激响应是发射信号的时间反转
模糊函数是分析波形分辨能力的工具，”图钉形”是理想形状，但受体积不变性约束
简单脉冲存在根本矛盾：宽脉冲看得远但分辨率低，窄脉分辨率高但看得近
脉冲压缩通过大时宽带宽积信号（$BT_p \gg 1$）解耦了”距离”和”分辨率”
LFM 信号是最常用的脉冲压缩波形，频率线性变化，压缩输出为 $\text{sinc}$ 函数
距离分辨率 $\Delta R = c/(2B)$ 只取决于带宽，与脉宽无关
距离-多普勒耦合是 LFM 的固有问题，运动目标的距离测量会偏移

本章计算练习题

题1：LFM 信号参数

一个 LFM 脉冲信号的脉宽 $T_p = 10\ \mu\text{s}$，带宽 $B = 5\ \text{MHz}$，载频 $f_c = 10\ \text{GHz}$。求：(1) 调频斜率 $K$；(2) 脉冲压缩比；(3) 压缩后的脉冲宽度。

点击查看解答

(1) 调频斜率：
$$K = \frac{B}{T_p} = \frac{5 \times 10^6}{10 \times 10^{-6}} = 5 \times 10^{11}\ \text{Hz/s} = 0.5\ \text{MHz/}\mu\text{s}$$

(2) 脉冲压缩比：
$$\text{CR} = B \cdot T_p = 5 \times 10^6 \times 10 \times 10^{-6} = 50$$

(3) 压缩后脉宽：
$$\tau = \frac{1}{B} = \frac{1}{5 \times 10^6} = 0.2\ \mu\text{s} = 200\ \text{ns}$$

即一个 10 μs 的长脉冲压缩成了 0.2 μs 的窄脉冲，压缩了 50 倍。

题2：距离分辨率计算

条件同题1，问：(1) 压缩前的距离分辨率是多少？(2) 压缩后的距离分辨率是多少？

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(1) 压缩前（简单脉冲）：
$$\Delta R_{\text{前}} = \frac{c T_p}{2} = \frac{3 \times 10^8 \times 10 \times 10^{-6}}{2} = 1500\ \text{m}$$

(2) 压缩后（LFM 脉冲压缩）：
$$\Delta R_{\text{后}} = \frac{c}{2B} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 5 \times 10^6} = 30\ \text{m}$$

结论：脉冲压缩使分辨率从 1500 m 提升到 30 m，提升了 50 倍，正好等于压缩比。

题3：匹配滤波器输出信噪比

一个矩形脉冲信号能量 $E = 10^{-12}\ \text{J}$，噪声功率谱密度 $N_0 = 10^{-15}\ \text{W/Hz}$。求匹配滤波器能获得的最大输出 SNR。

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匹配滤波器最大输出信噪比：
$$\text{SNR}_{\max} = \frac{2E}{N_0} = \frac{2 \times 10^{-12}}{10^{-15}} = 2000$$

用 dB 表示：
$$\text{SNR}{\max}(\text{dB}) = 10\log{10}(2000) \approx 33\ \text{dB}$$

这是匹配滤波器能获得的理论最优 SNR，任何其他线性滤波器都不能超过这个值。

题4：LFM 的距离-多普勒耦合

一个 LFM 雷达发射信号带宽 $B = 10\ \text{MHz}$，脉宽 $T_p = 20\ \mu\text{s}$。一个运动目标的多普勒频移 $f_d = 5\ \text{kHz}$。问：距离-多普勒耦合造成的距离测量偏差是多少？

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调频斜率：
$$K = \frac{B}{T_p} = \frac{10 \times 10^6}{20 \times 10^{-6}} = 5 \times 10^{11}\ \text{Hz/s}$$

LFM 的距离-多普勒耦合关系（匹配滤波器输出的时延偏移）：
$$\Delta t = \frac{f_d}{K} = \frac{5000}{5 \times 10^{11}} = 1 \times 10^{-8}\ \text{s} = 10\ \text{ns}$$

对应的距离偏差：
$$\Delta R = \frac{c \cdot \Delta t}{2} = \frac{3 \times 10^8 \times 10^{-8}}{2} = 1.5\ \text{m}$$

意味着运动目标在距离上会被测偏 1.5 m。这个偏差一般不大，但在高精度测量中需要考虑。

题5：脉冲压缩的灵敏度问题

一个 LFM 雷达 $T_p = 50\ \mu\text{s}$，$B = 10\ \text{MHz}$。回波的多普勒频移 $f_d = 10\ \text{kHz}$，问：不进行多普勒补偿时，脉压输出的峰值损失多少 dB？

点击查看解答

LFM 信号对多普勒频移有一定的容忍度。匹配滤波器输出峰值衰减因子为：
$$\text{衰减} = \left|\frac{\sin(\pi f_d T_p)}{\pi f_d T_p}\right| = \left|\frac{\sin(\pi \times 10000 \times 50 \times 10^{-6})}{\pi \times 10000 \times 50 \times 10^{-6}}\right|$$

$$\text{衰减} = \left|\frac{\sin(\pi \times 0.5)}{\pi \times 0.5}\right| = \left|\frac{\sin(0.5\pi)}{\pi/2}\right| = \frac{1}{\pi/2} \approx 0.6366$$

用 dB 表示：
$$\text{损失} = 20\log_{10}(0.6366) \approx -3.92\ \text{dB}$$

结论：10 kHz 的多普勒频移造成约 4 dB 的脉压损失。当 $f_d T_p \ge 1$ 时损失会很大，需要用多普勒滤波器组补偿。

全课回顾提示：

第1-2章（基础）：信号与系统、傅里叶变换——数学工具

第3章（数据采集）：脉冲雷达如何工作，I/Q解调，ADC

第4章（信号模型）：雷达方程——系统设计的核心公式

第5章（脉冲压缩）：解决了”远距离+高分辨率”的矛盾，是雷达信号处理的精髓

第6章多普勒处理

6.1 杂波特性

6.1.1 什么是杂波？

生活例子： 想象你站在一个嘈杂的集市里，想听到朋友在10米外喊你的名字。周围有小吃摊的滋啦声、人群的交谈声、小孩的哭闹声——这些”杂音”让你很难分辨朋友的声音。如果朋友不喊你的名字，而是拍一下手（短促声音），在这种环境里你根本注意不到。

在雷达世界里，杂波（Clutter）就是这些”杂音”。它是雷达接收到的、来自非目标物体的回波。杂波不是噪声，杂波是”不该出现的回波”，而噪声是接收机内部电子运动产生的随机信号。

正式定义： 杂波是雷达发射的电磁波照射到非目标物体（地面、建筑、树木、海浪、雨滴等）后产生的回波。这些回波和目标回波在形式上没有本质区别——它们都是电磁波反射造成的——但它们的来源是我们不关心的物体。

雷达实例： 一架雷达在机场附近扫描，它的任务是检测空中飞行的无人机。当地面有建筑物、树木、甚至地面车辆时，这些物体都会产生强烈的回波，淹没无人机的微弱回波。如果不处理杂波，雷达屏幕上将全是地面物体的”亮点”，根本看不到无人机。

6.1.2 三大主要杂波类型

(1) 地杂波（Ground Clutter）

地杂波来自地面反射。地面上的建筑物、山丘、树木、电线杆都会产生回波。

地杂波的特点是：

强度大：距离近的地物回波可能比目标回波强几十分贝（dB）
位置固定：地面物体不会移动，所以回波的多普勒频率为零
分布集中：集中在雷达附近区域

想象一下，你用手电筒照向远处的一个小物体，但在物体前面有一堵白墙。白墙反射的光线远远强于小物体的反射光。地杂波就是这堵”白墙”。

(2) 海杂波（Sea Clutter）

海杂波来自海面的电磁波反射。这和地杂波不同，因为海面在不断运动。

海杂波的特点：

动态变化：海浪在不断运动，所以海杂波有多普勒扩展
与海况相关：风平浪静时海杂波弱，大风大浪时海杂波强
与极化方式有关：垂直极化 vs 水平极化的海杂波特性差异大

海杂波的速度一般在 5-10 m/s（风速适中时），在沿海或港口环境下，海杂波的多普勒速度通常为 5-50 m/s。

(3) 气象杂波（Weather Clutter）

雨、雪、冰雹等气象粒子产生的回波。气象杂波的特点是：

体分布：不像地杂波是面分布，气象杂波占据一定体积空间
多普勒扩展：风中的雨滴在运动，会产生多普勒频移
回波较弱：通常比地杂波弱，但仍可能掩盖目标

气象杂波的多普勒速度范围通常在 30-100 m/s（暴风雨天气），而龙卷风等极端天气可达 >150 m/s。

6.1.3 杂波的频谱分布

了解了杂波是什么，接下来看一个更关键的问题：杂波的频谱长什么样？

杂波频谱通常用高斯模型来描述。所谓”高斯”就是钟形曲线，中间高、两边低。

杂波功率谱密度：

$$
W(f) = W_0 \exp\left(-\frac{f^2}{2\sigma_c^2}\right) = W_0 \exp\left(-\frac{f^2}{8\sigma_v^2/\lambda^2}\right)
$$

其中：

$W(f)$：频率为 $f$ 处的杂波功率密度
$W_0$：频谱中心的功率密度（最大值）
$\sigma_c$：杂波频谱的标准差（单位：Hz）
$\sigma_v$：杂波速度的标准差（单位：m/s），反映杂波运动的速度散布程度
$\lambda$：雷达工作波长（单位：m）

物理意义： 这个公式告诉我们，杂波的能量主要集中在一个中心频率附近。对于静止的杂波（地物），中心频率就是0 Hz（多普勒频移为零）。杂波频谱越宽（$\sigma_c$越大），说明杂波运动越剧烈。

不同杂波的 $\sigma_c$ 典型值：

杂波类型	$\sigma_c$ 典型值	物理含义
平静海面	窄	海浪运动缓慢
有风海面	中	海浪有一定速度
树林（有风）	宽	树叶摆动产生频率扩展
雨杂波	较宽	雨滴下落速度分散

文字版频谱图：

杂波功率
  ^
  |                
  |    *********             ← 高斯钟形曲线
  |   **       **              中心在 f=0（静止杂波）
  |  **         **
  | *             *
  |*               *
  +-----------------------→ 频率 f (Hz)
  0

6.1.4 杂波对雷达的影响

杂波的存在直接影响了雷达的检测性能。具体来说：

降低可检测性：杂波回波强度大，会掩盖目标的微弱回波
产生虚警：强杂波可能被误认为是目标
限制作用距离：杂波限制了雷达对低速目标的检测能力

解决思路：

如果目标是运动的，而杂波是静止的，可以利用多普勒频移来区分
这就是6.3节要讲的 MTI（动目标显示） 技术

6.2 多普勒效应

6.2.1 从生活现象说起

你有没有这样的经历：

站在铁路道口等火车经过。远处的火车鸣笛驶来，当它靠近你时，汽笛声听起来尖锐高亢（频率高）；当火车经过你身边并远离时，汽笛声突然变得低沉（频率低）。火车本身的汽笛频率没有变，但你听到的频率在变化。

这就是多普勒效应——波源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率会发生变化。

对于声波：火车靠近 → 声波被”压缩” → 频率升高 → 音调变尖
对于电磁波：目标靠近雷达 → 电磁波被”压缩” → 回波频率升高 → 多普勒频移为正

6.2.2 多普勒频移公式

核心公式（一定要记住）：

$$
f_d = \frac{2v}{\lambda}
$$

其中：

$f_d$：多普勒频移（单位：Hz）
$v$：目标的径向速度（单位：m/s），即目标相对于雷达的运动速度在雷达视线方向上的投影
$\lambda$：雷达发射电磁波的波长（单位：m）
系数2：因为电磁波”去程 + 回程”走了两倍的距离

方向判定：

目标靠近雷达：$v > 0$，$f_d > 0$（回波频率升高）
目标远离雷达：$v < 0$，$f_d < 0$（回波频率降低）
目标静止（或切向运动）：$v = 0$，$f_d = 0$（无多普勒频移）

关键洞察：运动目标回波有频移，静止杂波没有！

6.2.3 具体算例

假设雷达工作在X波段，波长 $\lambda = 0.03\text{ m}$（3 cm），一个无人机以 $v = 50\text{ m/s}$ 的速度靠近雷达：

$$
f_d = \frac{2 \times 50}{0.03} = \frac{100}{0.03} \approx 3333\text{ Hz}
$$

这意味着运动目标的回波频率比发射频率高约 3333 Hz。而地面建筑物的回波频率和发射频率相同（$f_d = 0$）。利用这 3333 Hz 的差异，雷达就能把运动目标从静止杂波中区分出来。

再看一个完整的推导过程：

雷达发射信号 $s(t) = A\cos(2\pi f_c t)$，其中 $f_c$ 是载波频率。

目标在距离 $R_0$ 处以径向速度 $v$ 运动，则瞬时距离为：
$$R(t) = R_0 + vt$$

回波延迟时间为 $\tau(t) = 2R(t)/c$，所以回波信号为：
$$s_r(t) = A_r\cos[2\pi f_c(t - \frac{2R(t)}{c})] = A_r\cos[2\pi f_c t - \frac{4\pi f_c R(t)}{c}]$$

代入 $R(t) = R_0 + vt$ 和 $\lambda = c/f_c$：
$$s_r(t) = A_r\cos[2\pi f_c t - \frac{4\pi R_0}{\lambda} - \frac{4\pi v}{\lambda}t]$$

注意到 $-\frac{4\pi v}{\lambda}t$ 这一项相当于让频率改变了 $f_d = \frac{2v}{\lambda}$。

小结： 运动目标的回波 = 发射信号 + 固定延时产生的相位 + 多普勒频移产生的相位变化。

6.2.4 正交解调（IQ 解调）

为了提取多普勒频移信息，雷达需要对回波进行正交解调（也叫 IQ 解调）。这是雷达信号处理中非常关键的一步。

为什么要用 IQ 解调？

简单来说，只用一路信号无法区分正负频率。想象一个钟摆：你看它左右摆动，但看不出它是在顺时针转还是逆时针转。IQ 解调就像是给你两路正交的视角，让你能区分运动方向（靠近 vs 远离）。

IQ 解调的原理框图：

          ┌─────────┐
          │   LPF   ├──→ I = A·cos(φ)
cos(2πf₀t)┼─→ × ───┤
          │         │
          └─────────┘
回波信号 ──┤
          │         ┌─────────┐
          │  90°    │   LPF   ├──→ Q = A·sin(φ)
sin(2πf₀t)┼─→ × ───┤
          └─────────┘

I 路和 Q 路信号组合成复信号 $I + jQ = Ae^{j\phi}$，其中相位 $\phi$ 包含了目标的距离和多普勒信息。

6.2.5 脉冲雷达中的多普勒采样

实际的雷达发射的不是连续波，而是一串脉冲。每个脉冲的回波在特定时刻被采样。

假设脉冲重复周期（PRI）为 $T_r$，则采样时刻为 $t = nT_r$（$n = 0, 1, 2, \dots$）。

在 $n$ 时刻，回波信号的相位为：
$$\phi(n) = 2\pi f_d \cdot nT_r + \phi_0$$

所以 IQ 解调后的复信号序列为：
$$x(n) = Ae^{j(2\pi f_d n T_r + \phi_0)}$$

这其实就是频率为 $f_d$ 的复正弦信号。对 $x(n)$ 做频谱分析（FFT），可以直接提取出多普勒频率 $f_d$。

核心关系： 雷达发射脉冲串，每个脉冲采一个样值，这些样值沿着”慢时间”轴构成了一个多普勒信号，其频率就是 $f_d$。

6.3 动目标显示（MTI）

6.3.1 基本原理

生活例子： 想象你坐在一个房间里，透过窗户看外面的景色。如果窗户玻璃上有雨滴，你的视线会变得模糊。但如果你快速眨一下眼睛，雨滴的位置变了，而远处的山基本没变——你的大脑通过”前后对比”过滤掉了近处快速移动的雨滴，看到了远处的静止山景。

MTI 的原理其实就是”前后对比”：比较相邻两个脉冲的回波，如果某个回波位置没有变化（静止杂波），对消掉；如果发生了变化（运动目标），保留下来。

正式定义： MTI（Moving Target Indicator，动目标显示）是一种利用多普勒效应抑制静止杂波、保留运动目标回波的技术。

6.3.2 单延迟对消器

最简单的 MTI 是单延迟对消器，其数学表达式为：

$$
y(t) = x(t) - x(t - T)
$$

其中：

$x(t)$：当前脉冲的回波信号
$x(t - T)$：上一个脉冲的回波信号（$T$ 是脉冲重复周期 PRI）
$y(t)$：对消后的输出

工作原理：

对静止杂波：$x(t) \approx x(t - T)$，所以 $y(t) \approx 0$，杂波被抵消
对运动目标：两个脉冲之间的相位发生了变化，$x(t) \neq x(t - T)$，$y(t) \neq 0$，目标被保留

6.3.3 频率响应分析

单延迟对消器的传递函数为：
$$H(f) = 1 - e^{-j2\pi f T}$$

其幅频响应（幅度随频率的变化）为：
$$|H(f)| = |1 - e^{-j2\pi f T}| = |2\sin(\pi f T)|$$

这就是 MTI 的”频率响应”公式。让我们画出来看看它长什么样：

|H(f)|
  ^
  |    ★                         ★                         ★
 2|   * *                       * *                       * *
  |  *   *                     *   *                     *   *
  | *     *                   *     *                   *     *
 1|*       *                 *       *                 *       *
  |         *               *         *               *         *
  |          *             *           *             *           *
  |           *           *             *           *             *
 0+-----*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--→ f
         0   1/T  1/T  2/T  2/T  3/T  3/T
               (PRF)    (2PRF)     (3PRF)

解释这个图：

横轴是频率 $f$，纵轴是幅度响应 $|H(f)|$
当 $f = 0$（静止杂波）：$|H(0)| = 0$，杂波被完全抑制
当 $f = n/T = n\cdot PRF$（PRF 的整数倍）：$|H(f)| = 0$，这些频率也被抑制
当 $f = (2n+1)/(2T) = (n+0.5)PRF$：$|H(f)| = 2$，最大增益

所以 MTI 本质上是一个高通滤波器（或带阻滤波器）：让运动目标（高频）通过，阻挡静止杂波（低频）。

但有一个严重问题……

6.3.4 盲速问题

这是一个非常关键的概念。请仔细看：

当目标的多普勒频率 $f_d = n \cdot PRF$（$n$ 为整数）时，$|H(f_d)| = 0$，目标信号也被完全抑制了！

为什么会这样？

回顾多普勒频移公式，$f_d = 2v/\lambda$。当 $f_d = n \cdot PRF$ 时：
$$v = \frac{n \cdot \lambda \cdot PRF}{2}$$

这个速度就是盲速。当目标以盲速运动时，雷达 MTI 看不到它。

物理意义： 想象一下，目标每两个脉冲之间正好移动了波长的整数倍距离。雷达看去，回波的相位和没动一样——完美匹配了静止杂波的特征，被一起对消掉了。

盲速公式： $v_{blind} = n \cdot \frac{\lambda \cdot PRF}{2}$

解决盲速的方法：

参差 PRF（Staggered PRF）：交替使用不同的 PRF，让盲速位置改变
多 PRF 技术：见6.5节

6.3.5 双延迟对消器（三脉冲对消）

单延迟对消器的凹口不够深，杂波抑制能力有限。为了更好地抑制杂波，可以用双延迟（三脉冲）对消器。

数学表达式：
$$y(t) = x(t) - 2x(t - T) + x(t - 2T)$$

传递函数：
$$H(f) = 1 - 2e^{-j2\pi f T} + e^{-j4\pi f T}$$

幅频响应：
$$|H(f)| = |4\sin^2(\pi f T)|$$

双延迟对消器的凹口更深、更宽，杂波抑制效果更好：

|H(f)|
  ^
 4|                            
  |    *                       *                       *
  |   * *                     * *                     * *
  |  *   *                   *   *                   *   *
  | *     *                 *     *                 *     *
 2|*       *               *       *               *       *
  |         *             *         *             *         *
  |          *           *           *           *           *
  |           *         *             *         *             *
 0+-----*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--*--→ f
         0   1/T         2/T         3/T

对比： 相比单延迟，双延迟在 $f=0$ 附近的凹口更”平坦”，意味着对静止杂波的抑制更强。

6.3.6 FIR 滤波器视角

实际上，MTI 对消器可以看作一个 FIR 滤波器（有限脉冲响应滤波器）。

单延迟对消器：两个抽头，系数 $[1, -1]$
双延迟对消器：三个抽头，系数 $[1, -2, 1]$

更一般地，可以设计任意阶数的 FIR 滤波器的系数，以实现更复杂的频率响应。系数的设计原则是在杂波频率处形成凹口，在目标频率处有增益。

6.4 动目标检测（MTD）

6.4.1 从 MTI 到 MTD

MTI 虽然能抑制杂波，但它有一个根本性的局限：它只能区分”运动”和”静止”，但不能告诉我们目标的具体速度。

MTD（Moving Target Detector，动目标检测）在 MTI 的基础上更进一步：它不仅抑制杂波，还能测量目标的速度。

核心思想： MTI + FFT 滤波器组 = MTD

6.4.2 用 DFT 实现多普勒滤波器组

在6.2.5节我们看到，经过 IQ 解调和脉冲采样后，每个距离单元的回波沿慢时间轴构成了一个复正弦信号 $x(n) = Ae^{j2\pi f_d nT_r}$。

对这个序列做 DFT（离散傅里叶变换）：

$$
X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1
$$

其中：

$N$：一个处理窗口内的脉冲数
$k$：多普勒通道编号
$X(k)$：第 $k$ 个多普勒通道的输出

每个 $k$ 值对应一个多普勒滤波器：

每个滤波器中心频率为 $f_k = k \cdot PRF/N$，覆盖了一个特定的速度范围。

具体例子： 假设 $PRF = 1000\text{ Hz}$，$N = 8$：

滤波器 0：中心频率 0 Hz（覆盖静止杂波）
滤波器 1：中心频率 125 Hz
滤波器 2：中心频率 250 Hz
…
滤波器 7：中心频率 875 Hz

每个滤波器的频率宽度（3dB带宽）约为 $PRF/N = 125\text{ Hz}$。

这样，8个滤波器均匀覆盖了从 0 到 $PRF$ 的整个频率范围（实际由于 DFT 的对称性，覆盖的是 $-PRF/2$ 到 $PRF/2$）。

6.4.3 MTD 的杂波抑制能力

MTD 比 MTI 的杂波抑制能力更强，原因有二：

更窄的凹口：MTD 只在杂波所在的多普勒通道处抑制，而不像 MTI 把整个低频区域都抑制
速度测量：可以判断目标的速度，有助于后续跟踪和目标识别

文字版 MTD 滤波器组示意图：

幅度响应
  ^
  |                                     
  |  滤0   滤1   滤2   滤3   滤4   滤5   滤6   滤7
  |  /\    /\    /\    /\    /\    /\    /\    /\
  | /  \  /  \  /  \  /  \  /  \  /  \  /  \  /  \
  |/    \/    \/    \/    \/    \/    \/    \/    \
  +----------------------------------------------→ 频率
  0   125  250  375  500  625  750  875  Hz
  
  ←------- PRF = 1000 Hz --------→

滤波器 0 覆盖杂波区域（0 Hz附近），这一路的输出通常被丢弃
滤波器 1~7 覆盖不同速度的目标

6.4.4 加窗处理

直接使用 DFT 存在一个问题：每个滤波器的旁瓣较高（第一旁瓣约 -13.2 dB），杂波可能从旁瓣泄漏到其他通道。

解决方法是加窗：在 DFT 之前对数据乘上一个窗函数（如汉明窗、布莱克曼窗等），压低旁瓣。

窗函数	第一旁瓣	主瓣宽度
矩形窗（不加窗）	-13.2 dB	1×（基准）
汉宁窗	-31 dB	2×
布莱克曼窗	-57 dB	3×

代价： 加宽了主瓣宽度，降低了多普勒分辨率。这就是”鱼与熊掌不可兼得”——要压低旁瓣就会损失分辨率。

6.4.5 MTD 的工程实现

实际的 MTD 处理器由以下几个步骤组成：

1	`脉冲回波 → IQ 解调 → 脉冲采样 → MTI 对消（可选）→ 加窗 → FFT → CFAR 检测`

其中：

MTI 对消（可选）：在 FFT 之前先做一次 MTI 对消，进一步抑制强杂波
加窗：降低 FFT 旁瓣
FFT：用 FFT（快速傅里叶变换）高效实现 DFT
CFAR 检测：在距离-多普勒平面上做恒虚警检测（详见第7章）

MTD 输出的数据格式：

对于每个距离单元，MTD 输出一个 $N$ 点的频谱（$N$ 是 FFT 点数）。所有距离单元的数据合在一起，构成了一个距离-多普勒图（Range-Doppler Map）：

        多普勒通道（速度）
       k=0  k=1  k=2  ...  k=N-1
距离 1   [  ][  ][  ] ... [  ]
距离 2   [  ][  ][  ] ... [  ]
距离 3   [  ][  ][  ] ... [  ]
  ...
距离 M   [  ][  ][  ] ... [  ]

这个二维矩阵就是 MTD 的输出，其中每个单元的值代表特定距离、特定速度处是否有目标。

6.5 解速度模糊

6.5.1 问题来源

再看盲速公式：

$$v_{blind} = \frac{\lambda \cdot PRF}{2}$$

如果 $PRF = 1000\text{ Hz}$，$\lambda = 0.03\text{ m}$（X波段）：
$$v_{blind} = \frac{0.03 \times 1000}{2} = 15\text{ m/s}$$

这意味着速度为 15 m/s 的目标就是盲速，$\pm 15\text{ m/s}$ 范围内的目标都会和静止杂波混在一起。

6.5.2 多 PRF 技术

解决模糊的基本思路：用两个不同的 PRF 测量同一个目标，然后利用中国余数定理解模糊。

具体步骤如下：

用 $PRF_1$ 发射脉冲，测得一个模糊的多普勒频率 $f_{d1}$（范围 $[0, PRF_1)$）
用 $PRF_2$ 发射脉冲，测得另一个模糊的多普勒频率 $f_{d2}$（范围 $[0, PRF_2)$）
目标真实的多普勒频率同时满足两个条件：
$$f_d = n_1 \cdot PRF_1 + f_{d1}$$
$$f_d = n_2 \cdot PRF_2 + f_{d2}$$
寻找满足这两个方程的整数 $n_1, n_2$，解出真实的 $f_d$

6.5.3 具体数值例子（从课件习题中提取）

已知目标在两个 PRF 下的测量结果：

$PRF_1 = 1200\text{ Hz}$，测得 $f_{d1} = 100\text{ Hz}$
$PRF_2 = 1000\text{ Hz}$，测得 $f_{d2} = 500\text{ Hz}$

求解步骤：

第一步：列出方程
$$f_d = 1200n_1 + 100$$
$$f_d = 1000n_2 + 500$$

第二步：联立
$$1200n_1 + 100 = 1000n_2 + 500$$
$$1200n_1 = 1000n_2 + 400$$
$$6n_1 = 5n_2 + 2$$

第三步：寻找整数解

尝试 $n_1 = 2$：$6 \times 2 = 12 = 5n_2 + 2$，解得 $n_2 = 2$

验证：
$$f_d = 1200 \times 2 + 100 = 2500\text{ Hz}$$
$$f_d = 1000 \times 2 + 500 = 2500\text{ Hz}$$

确认：实际多普勒频率为 $f_d = 2500\text{ Hz}$

其他可能的解（高次模）：

$n_1 = 7$ 时：$f_d = 1200 \times 7 + 100 = 8500\text{ Hz}$
$n_1 = 12$ 时：$f_d = 1200 \times 12 + 100 = 14500\text{ Hz}$

通常选择最小频率解（$f_d = 2500\text{ Hz}$）。

转换成速度： 若 $\lambda = 0.03\text{ m}$：
$$v = \frac{f_d \cdot \lambda}{2} = \frac{2500 \times 0.03}{2} = 37.5\text{ m/s}$$

6.5.4 PRF 选择的工程考量

选择 PRF 时需要权衡多个因素：

避免盲速：如果 PRF 太低，盲速很低，很多目标速度落入盲速区
避免距离模糊：PRF 太高，远距离目标的回波可能在下个脉冲发射后才到达，造成距离模糊
解模糊能力：两个 PRF 的比值应选为互质数（如 4:3、5:4 等）

所以 PRF 的选择是雷达设计中一个非常关键的工程问题。

本章总结

核心要点

杂波是不需要的回波，种类包括地杂波（静止）、海杂波（动态）和气象杂波。杂波的频谱可用高斯模型描述。
多普勒效应是区分运动目标和静止杂波的物理基础：
$$f_d = \frac{2v}{\lambda}$$
运动目标有频移，静止杂波没有。
IQ 解调用于提取回波信号的相位信息，从而获得多普勒频移。
MTI（动目标显示） 通过脉冲对消抑制静止杂波：
- 单延迟对消器：$y(t) = x(t) - x(t - T)$，频率响应 $|H(f)| = |2\sin(\pi f T)|$
- 双延迟对消器：更深的凹口，更好的杂波抑制
- 盲速问题：$v = n \cdot \lambda \cdot PRF/2$
MTD（动目标检测） = MTI + FFT 滤波器组，除了抑制杂波还能测量目标速度，输出距离-多普勒图。
解速度模糊需要用多 PRF 技术，通过中国余数定理消除多普勒模糊。

三个公式一定要记住

公式	物理含义
$f_d = 2v/\lambda$	多普勒频移与径向速度的关系
$	H(f)
$v_{blind} = n \cdot \lambda \cdot PRF/2$	盲速计算公式

MTI vs MTD 对比

特性	MTI	MTD
目标	抑制杂波	抑制杂波 + 测速
技术	延迟线对消	FFT 滤波器组
输出	幅度信号	距离-多普勒图
杂波抑制	好	更好
复杂度	低	高

本章计算练习题

题1：多普勒频移计算

一部 X 波段雷达 $f_c = 10\ \text{GHz}$，探测到一架以 $v = 300\ \text{m/s}$ 径向速度接近的飞机。求：(1) 多普勒频移 $f_d$；(2) 如果飞机以同样速度远离，$f_d$ 是多少？

点击查看解答

(1) 波长：$\lambda = \frac{c}{f_c} = \frac{3 \times 10^8}{10^{10}} = 0.03\ \text{m}$

接近时：
$$f_d = \frac{2v}{\lambda} = \frac{2 \times 300}{0.03} = 20000\ \text{Hz} = 20\ \text{kHz}$$

(2) 远离时，多普勒频移为负值：
$$f_d = -\frac{2v}{\lambda} = -20\ \text{kHz}$$

接近时回波频率比发射高 20 kHz，远离时低 20 kHz。

题2：盲速计算

一部 L 波段雷达 $f_c = 1.5\ \text{GHz}$，PRF = 800 Hz。求：(1) 第一盲速 $v_{\text{blind}}$；(2) 如果目标速度 $v = 150\ \text{m/s}$，是否落入盲速区？(3) 如果想使第一盲速大于 200 m/s，PRF 至少取多少？

点击查看解答

(1) 波长：$\lambda = \frac{c}{f_c} = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^9} = 0.2\ \text{m}$

第一盲速（$n=1$）：
$$v_{\text{blind}} = \frac{\lambda \cdot \text{PRF}}{2} = \frac{0.2 \times 800}{2} = 80\ \text{m/s}$$

(2) 检查 150 m/s 是否在盲速区：
$$n = \frac{2v}{\lambda \cdot \text{PRF}} = \frac{2 \times 150}{0.2 \times 800} = 1.875$$

不是整数，所以 150 m/s 不在盲速区。但盲速出现在 $n \cdot 80\ \text{m/s}$ 处（$n=1,2,3,\ldots$），即 80 m/s、160 m/s、240 m/s⋯

(3) 要使第一盲速 > 200 m/s：
$$\text{PRF} > \frac{2 \times 200}{0.2} = 2000\ \text{Hz}$$

但 PRF 提高会降低最大不模糊距离。这就是雷达设计中的典型权衡。

题3：MTI 对消器频率响应

单延迟 MTI 对消器的脉冲重复间隔 PRI = 1 ms。求：(1) 第一零点位置；(2) 对 200 m/s（$\lambda = 0.1\ \text{m}$）目标的衰减是多少 dB？

点击查看解答

(1) 单延迟对消器频率响应：
$$|H(f)| = |2\sin(\pi f T)|$$

第一零点出现在 $\sin(\pi f T) = 0$，即 $\pi f T = 0,\pi,2\pi,\ldots$：
$$f = 0, \frac{1}{T}, \frac{2}{T}, \ldots$$
$$f = 0, 1000, 2000, \ldots\ \text{Hz}$$

(2) 目标的多普勒频率：
$$f_d = \frac{2v}{\lambda} = \frac{2 \times 200}{0.1} = 4000\ \text{Hz}$$

检查是否在零点：$f_d = 4000 = 4 \times 1000$，正好是 $4/T$，所以该目标也在零点处，会被对消掉！

这意味着速度为 200 m/s 的目标恰好是盲速。

题4：解速度模糊

用双 PRF 法解速度模糊。$PRF_1 = 1500\ \text{Hz}$，测得 $f_{d1} = 200\ \text{Hz}$；$PRF_2 = 1200\ \text{Hz}$，测得 $f_{d2} = 800\ \text{Hz}$。求真实多普勒频率。若 $\lambda = 0.03\ \text{m}$，求真实径向速度。

点击查看解答

建立方程：
$$f_d = 1500n_1 + 200$$
$$f_d = 1200n_2 + 800$$

联立：
$$1500n_1 + 200 = 1200n_2 + 800$$
$$1500n_1 = 1200n_2 + 600$$
$$5n_1 = 4n_2 + 2$$

试 $n_1 = 2$：$10 = 4n_2 + 2$，$n_2 = 2$

验证：
$$f_d = 1500 \times 2 + 200 = 3200\ \text{Hz}$$
$$f_d = 1200 \times 2 + 800 = 3200\ \text{Hz}$$

真实多普勒频率：$f_d = 3200\ \text{Hz}$

径向速度：
$$v = \frac{f_d \cdot \lambda}{2} = \frac{3200 \times 0.03}{2} = 48\ \text{m/s}$$

题5：MTI 改善因子

一个 MTI 系统的信号平均增益 $G_s = 0\ \text{dB}$（无增益），杂波平均抑制 $G_c = -30\ \text{dB}$。求改善因子 $I$（dB 值）。

点击查看解答

改善因子定义为输出信杂比除以输入信杂比：
$$I(\text{dB}) = G_s(\text{dB}) - G_c(\text{dB}) = 0 - (-30) = 30\ \text{dB}$$

MTI 将信杂比提升了 30 dB，即 1000 倍。这意味着输出端的杂波功率比输入端低了 30 dB。

第7章检测理论与方法

7.1 检测基础概念

7.1.1 先讲个故事

你是一个守门员，站在球门线上等待点球。你的任务是判断射门方向，然后扑救。

这里有四种可能的情况：

实际情况	你的判断	结果
球射向左边	扑向左边	扑出！正确检测
球射向右边	扑向右边	扑出！正确检测
球射向左边	扑向右边	丢球！漏警
没人射门（假动作）	扑向左边	白扑了，但没丢球，虚警

雷达检测目标，和守门员扑点球本质上是一样的——都是在不确定的情况下做二选一的判断。

7.1.2 两个假设

在雷达检测中，永远只有两个”假设”：

$H_0$（零假设）：没有目标，接收到的只有噪声
- 就像守门员面临的”假动作，没人射门”
$H_1$（备择假设）：有目标，接收到的信号包含目标回波 + 噪声
- 就像守门员面临的”球真的射过来了”

7.1.3 三种概率

虚警概率 $P_{FA}$（False Alarm Probability）：

实际上是 $H_0$（无目标），但检测器说有目标。

$$P_{FA} = \int_{T}^{\infty} p(y|H_0) dy$$

其中：

$T$：检测门限（threshold）
$p(y|H_0)$：无目标时接收信号的概率密度函数（PDF）
$P_{FA}$：虚警概率 = 噪声超过门限的概率

物理意义： 100次扫描中，如果雷达平均”误报”1次目标，那么 $P_{FA} = 0.01$。

检测概率 $P_D$（Detection Probability）：

实际上是 $H_1$（有目标），检测器也正确判断有目标。

$$P_D = \int_{T}^{\infty} p(y|H_1) dy$$

其中 $p(y|H_1)$ 是有目标时接收信号的概率密度函数。

漏警概率 $P_M$（Miss Probability）：

实际上是 $H_1$（有目标），但检测器说没有。$$P_M = 1 - P_D$$

三者关系：

$$P_{FA} + P_D + P_M \neq 1 \quad \text{（不要混为一谈！）}$$

正确的关系是：$P_D + P_M = 1$（对同一假设 $H_1$ 而言），而 $P_{FA}$ 是另一回事（基于 $H_0$）。

7.1.4 文字版示意图

概率密度
  ^
  |         噪声分布 p(y|H₀)
  |    *******         信号+噪声 p(y|H₁)
  |   **     ***      **********
  |  **        ***  ***        ***
  | *           *****            ****
  |*             |                   ***
  +--------------|----------------------→ y
                 门限 T
                 
   ← PFA →       ← PD →
   (H₀区域超过T)  (H₁区域超过T)
   
                 漏警 PM = 1-PD
                 (H₁区域未超过T)

关键理解：

门限 $T$ 往左移 → $P_D$ 增大，但同时 $P_{FA}$ 也增大（捡了芝麻丢了西瓜）
门限 $T$ 往右移 → $P_{FA}$ 减小，但 $P_D$ 也减小（保守但可能漏掉目标）
检测器的目标就是在两者之间找到平衡

7.1.5 判决准则

（1）贝叶斯准则（Bayes Criterion）

贝叶斯准则的核心思想是：给每种错误分配一个”代价”，然后选择使平均代价最小的判决方式。

$$
\frac{p(y|H_1)}{p(y|H_0)} \mathrel{\mathop{\gtrless}\limits_{H_0}^{H_1}} \frac{P(H_0)(c_{10} - c_{00})}{P(H_1)(c_{01} - c_{11})}
$$

其中：

$P(H_0), P(H_1)$：目标和无目标的先验概率
$c_{10}$：虚警的代价（实际上无目标，但判为有目标）
$c_{01}$：漏警的代价（实际上有目标，但判为无目标）
$c_{00}, c_{11}$：正确判决的代价（通常设为0）

生活例子： 火灾报警器要平衡两个错误：

虚警（误报）：消防车白跑一趟，代价 $c_{10}$ = 100元
漏警（没报）：房子烧掉了，代价 $c_{01}$ = 100万元
显然漏警代价远大于虚警，所以门限应该适当降低

（2）Neyman-Pearson 准则 —— 最常用！

在雷达中，我们通常不知道 $P(H_0)$ 和 $P(H_1)$，也很难量化代价。NP准则的思路是：

给定一个可接受的虚警概率 $P_{FA}$，最大化检测概率 $P_D$。

具体做法：

设定允许的最大 $P_{FA}$（如 $10^{-6}$）
根据 $P_{FA}$ 计算门限 $T$
用这个门限做检测，得到对应的 $P_D$

似然比检验（Likelihood Ratio Test）：

$$
\Lambda(y) = \frac{p(y|H_1)}{p(y|H_0)} \mathrel{\mathop{\gtrless}\limits_{H_0}^{H_1}} \eta
$$

$\Lambda(y)$ 是似然比——它度量观测值 $y$ 更可能是来自 $H_1$ 还是 $H_0$
$\eta$ 是门限，由 $P_{FA}$ 决定
如果 $\Lambda(y) > \eta$，判为 $H_1$（有目标）

7.2 噪声与杂波统计模型

7.2.1 为什么要关心统计模型？

因为雷达接收机中的噪声和杂波是随机的，不是确定性的。我们不能预测某个时刻的噪声值，但可以通过统计模型描述它的”行为模式”。

统计模型的作用： 知道了噪声的”脾气”，我们才能设计出针对性的检测器。

7.2.2 常见分布模型

（1）高斯分布（Gaussian Distribution）

适用场景： 接收机热噪声（这是最常见的噪声来源）。

高斯分布的概率密度函数：

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中 $\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。

IQ 解调后的噪声： I 路和 Q 路的噪声各自服从高斯分布 $N(0, \sigma^2)$（均值为0）。

（2）瑞利分布（Rayleigh Distribution）

适用场景： 噪声经过平方律检波器后的幅度分布。

$$p(x) = \frac{2x}{\sigma^2} e^{-x^2/\sigma^2}, \quad x \geq 0$$

其中 $\sigma$ 是尺度参数。

为什么会出现瑞利分布？ 当 I 路和 Q 路都是独立同分布的高斯噪声时，包络 $\sqrt{I^2 + Q^2}$ 服从瑞利分布。这就像一个醉汉走路——在 x 方向和 y 方向各自随机走，最终偏离原点的距离服从瑞利分布。

瑞利分布的均值和方差：

均值：$E[X] = \sigma\sqrt{\pi/2}$
方差：$Var[X] = (2 - \pi/2)\sigma^2$

门限与虚警概率的关系（非常重要）：

对于瑞利分布的噪声，虚警概率和门限 $T$ 的关系非常简单：

$$P_{FA} = \int_T^\infty p(x)dx = e^{-T^2/\sigma^2}$$

反过来，给定 $P_{FA}$ 可求门限：

$$T = \sigma\sqrt{-\ln P_{FA}}$$

例子： 如果要求 $P_{FA} = 10^{-6}$，$\sigma = 1$：
$$T = 1 \times \sqrt{-\ln(10^{-6})} = \sqrt{13.82} \approx 3.72$$

（3）韦布尔分布（Weibull Distribution）

适用场景： 地杂波和海杂波建模，比瑞利分布更灵活。

$$p(x) = \frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1} e^{-(x/\beta)^\alpha}, \quad x \geq 0$$

其中 $\alpha > 0$ 是形状参数，$\beta > 0$ 是尺度参数。

$\alpha = 2$ 时，韦布尔退化为瑞利分布
$\alpha < 2$：拖尾更重（杂波更强），适合高海况海杂波
$\alpha > 2$：拖尾更轻，适合低海况或某些地杂波

（4）对数正态分布（Log-Normal Distribution）

适用场景： 高分辨率雷达的地杂波，尤其是城市环境。

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x} \exp\left[-\frac{(\ln x - \ln x_m)^2}{2\sigma^2}\right], \quad x > 0$$

特点：拖尾很长（意味着偶尔会出现很强的杂波尖峰），$\sigma$ 越大拖尾越长。

（5）K 分布

适用场景： 海杂波建模（目前公认最准确的海杂波模型）。

$$p(A) = \frac{2}{a\Gamma(v)}\left(\frac{A}{2a}\right)^v K_{v-1}\left(\frac{A}{a}\right)$$

其中 $K_{v-1}(\cdot)$ 是修正贝塞尔函数，$v$ 是形状参数（$v$ 越小，拖尾越重）。

（6）莱斯分布（Rice Distribution）

适用场景： 有强散射体的杂波环境。

$$p(x) = \frac{2x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2 + A^2}{\sigma^2}\right) I_0\left(\frac{2Ax}{\sigma^2}\right)$$

其中 $I_0$ 是零阶修正贝塞尔函数，$A$ 是主散射体幅度。

7.2.3 模型选择指南

场景	推荐模型	原因
热噪声	高斯/瑞利	电子热运动，物理理论保证
低海况海杂波	瑞利	均匀海面，多散射体
高海况海杂波	韦布尔/K分布	拖尾重，有尖峰
城市地杂波	对数正态	拖尾极重，偶发强尖峰
气象杂波	高斯	大量均匀粒子散射

7.3 检测器设计

7.3.1 平方律检波器

雷达中最常用的检测器是平方律检波器。它的输出是 IQ 两路信号的平方和：

$$z = \sum_{n=1}^{N} (I_n^2 + Q_n^2) = \sum_{n=1}^{N} |x(n)|^2$$

其中 $N$ 是相干积累的脉冲数。

$H_0$ 下的分布（只有噪声）：

$z’ = z/\sigma^2$ 服从卡方分布（自由度 $2N$）：

$$p(z’|H_0) = \frac{(z’)^{N-1} e^{-z’}}{(N-1)!}$$

$H_1$ 下的分布（信号+噪声）：

$$p(z’|H_1) = \left(\frac{z’}{N}\right)^{\frac{N-1}{2}} e^{-z’-N} I_{N-1}(2\sqrt{N z’})$$

其中 $I_{N-1}$ 是 $N-1$ 阶修正贝塞尔函数，$N \cdot SNR$ 是积累后的信噪比。

7.3.2 Albersheim 公式

在实际工程中，有时候不需要复杂的积分计算，可以用一个经验公式来估算所需信噪比。

Albersheim 公式给出了在给定 $P_D$, $P_{FA}$, $N$ 时所需的 SNR：

$$\text{SNR}{\text{dB}} = -5\log{10}N + \left[6.2 + \frac{4.54}{\sqrt{N+0.44}}\right] \log_{10}(A + 0.12AB + 1.7B)$$

其中：
$$A = \ln\left(\frac{0.62}{P_{FA}}\right)$$
$$B = \ln\left(\frac{P_D}{1-P_D}\right)$$

这个公式被称为”快、准、狠”的工程工具：快速计算、准确度足够、省去复杂积分。

7.3.3 Swerling 目标模型

现实中的目标回波不是恒定不变的——目标在运动，姿态变化导致 RCS（雷达散射截面积）波动。Swerling 模型描述了这种波动：

模型	波动方式	脉冲间相关性	适用场景
Swerling 0	无波动	完全相关	理想情况，很少见
Swerling 1	慢起伏	扫描间独立，脉冲间相关	喷气式飞机（大目标）
Swerling 2	快起伏	脉冲间独立	螺旋桨飞机
Swerling 3	慢起伏	扫描间独立，脉冲间相关	导弹、直升机
Swerling 4	快起伏	脉冲间独立	小型无人机

Swerling 1/3 vs Swerling 2/4 的区别：

慢起伏（Swerling 1/3）：在一个 CPI（相干处理间隔）内，目标 RCS 不变；不同 CPI 之间变化
快起伏（Swerling 2/4）：每个脉冲之间 RCS 都在变化

对检测的影响： 快起伏目标在积累时可以等效为更多的独立样本，因此用 Swerling 2/4 计算 $P_D$ 时，积累效率更高。

7.4 M/N 检测

7.4.1 基本思想

生活例子： 你连续看了8场球赛，每次买同一支球队赢。如果这支球队赢了至少6场，你就在朋友圈发”强队归来”。这就是一个 6/8 检测——8次尝试中6次成功就判定。

正式定义： M/N 检测是指在 $N$ 次独立观测中，如果至少有 $M$ 次超过门限，就判定有目标。

M/N 检测的数学基础是二项分布：

$$P_B = \sum_{r=M}^{N} \binom{N}{r} p^r (1-p)^{N-r}$$

其中：

$P_B$：累积概率（虚警或检测）
$N$：总观测次数
$M$：要求的超过门限次数
$p$：单次超过门限的概率（$P_{FA}$ 或 $P_D$）
$\binom{N}{r} = \frac{N!}{r!(N-r)!}$：组合数

7.4.2 具体例子

采用 2/4 检测（$N=4, M=2$），单次检测的 $P_D = 0.5$，$P_{FA} = 10^{-3}$：

计算检测概率：

$$P_D = \sum_{r=2}^{4} \binom{4}{r} (0.5)^r (0.5)^{4-r} = 6 \times 0.5^4 + 4 \times 0.5^4 + 1 \times 0.5^4 = 11 \times 0.0625 = 0.688$$

计算虚警概率：

$$P_{FA} = \sum_{r=2}^{4} \binom{4}{r} (10^{-3})^r (1-10^{-3})^{4-r} \approx 6 \times 10^{-6}$$

观察结果：

单次 $P_D$	2/4 检测 $P_D$	单次 $P_{FA}$	2/4 检测 $P_{FA}$
0.5	0.688	$10^{-3}$	$6 \times 10^{-6}$
0.8	0.973	$10^{-6}$	$6 \times 10^{-12}$
0.9	0.996	—	—

关键结论： M/N 检测一方面提高了检测概率（$0.5 \to 0.688$），另一方面大幅降低了虚警概率（$10^{-3} \to 6\times 10^{-6}$）。这是一举两得的好方法！

7.4.3 M/N 检测的工程应用

在雷达中，M/N 检测常用于：

多次扫描确认：同一目标在连续 $N$ 次扫描中至少出现 $M$ 次才确认
多脉冲检测：$N$ 个脉冲中至少 $M$ 个超过门限
CFAR 后处理：CFAR 检测后再用 M/N 过滤虚警

7.5 CFAR：恒虚警率检测

7.5.1 为什么需要 CFAR？

故事开篇：

想象一下这个场景——你是一个保安，负责监听一个对讲机。你把音量调到刚好能听见微弱声音的程度（设了一个”门限”）。

白天一切正常。但到了晚上，突然起风了，对讲机里传来沙沙的噪音（噪声功率变大）。你用白天设定的”门限”，结果风一吹，对讲机就”哗哗”响个不停——全是虚警！

第二天，风停了，你把门限调回去了。但这时远处有个人轻轻说了一句话（微弱目标），因为门限太高，你完全没听到——漏警了！

核心问题： 噪声/杂波的功率是变化的（随时间、随环境变化），固定门限无法同时满足虚警控制和检测性能的要求。

这时你需要一个自适应门限——当噪声大时，门限自动提高；当噪声小时，门限自动降低。它让虚警概率保持恒定——这就是 CFAR（Constant False Alarm Rate，恒虚警率）检测。

7.5.2 CA-CFAR（单元平均 CFAR）

CA-CFAR 是最基本、最常用的 CFAR 方法。

核心思想： 对待检测单元周围的”邻居”取平均，用这个平均值估计当前的噪声/杂波功率，然后乘以一个系数得到门限。

文字版窗口示意图：

向左看（参考窗）   待检测  向右看（参考窗）
←--- N/2个单元 ---→ │ ←--- N/2个单元 ---→
                    │
[ ][ ][ ][ ][ ]...[ ][CUT][ ][ ][ ][ ]...[ ]
 <--- 前导窗 --->   │  <--- 后随窗 --->
                    │
                   保护单元（Guard Cells）
                   （防止目标能量泄漏到参考窗）

CA-CFAR 算法步骤：

在待检测单元（CUT, Cell Under Test）两侧各取 $N/2$ 个参考单元
计算参考单元的平均功率：
$$\hat{P}n = \frac{2}{N}\sum{i=1}^{N/2} (x_i + x_{N/2+i})$$
（或者简单地：$\hat{P}n = \frac{1}{N}\sum{i=1}^{N} x_i$ 其中 $x_i$ 是参考单元的功率）
计算门限：$T = \alpha \cdot \hat{P}_n$，其中 $\alpha$ 是门限因子
比较：如果 CUT 的功率 $> T$，判为有目标，否则判为无目标

门限因子 $\alpha$ 与 $P_{FA}$ 的关系：

$$P_{FA} = (1 + \alpha)^{-N}$$

反过来，给定 $P_{FA}$ 和参考单元数 $N$：
$$\alpha = P_{FA}^{-1/N} - 1$$

示例： 要求 $P_{FA} = 10^{-6}$，$N = 16$：
$$\alpha = (10^{-6})^{-1/16} - 1 = 10^{6/16} - 1 = 10^{0.375} - 1 \approx 2.37 - 1 = 1.37$$

门限 = $1.37 \times \hat{P}_n$（平均噪声功率的 1.37 倍）。

检测概率公式：

$$P_D = (1 + \frac{\alpha}{1+SNR})^{-N}$$

其中 $SNR$ 是信噪比。

7.5.3 CA-CFAR 的优点和缺点

优点：

算法简单，计算量小
在均匀噪声环境中性能最优

缺点（非常关键！）：

杂波边缘效应：如果参考窗跨越了杂波边界（一半是强杂波，一半是弱噪声），平均值被抬高，导致弱目标被淹没
多目标干扰：如果参考窗内有其他目标，平均值被抬高，导致 CUT 中的弱目标被淹没
非均匀环境性能下降

文字版示意图：杂波边缘问题

功率
  ^
  |             ****杂波区****
  |             *           *
  |   ****均匀噪声***       *
  |   *           *         *      目标在这里
  |   *      CUT  *         *     ？看不到！
  |   *           *         *
  +--------------------------------------→ 距离
       ← 前导窗 → ← 后随窗 →
       前导窗（弱噪声）  后随窗（强杂波）
       CA-CFAR 取平均 = (弱+强)/2
       门限被抬高 → 杂波边缘处的弱目标被漏掉

为了解决这些问题，CA-CFAR 的改进版本应运而生。

7.5.4 GO-CFAR 和 SO-CFAR

GO-CFAR（Greatest Of CFAR）—— 取最大值

思想： 分别计算前导窗和后随窗的平均值，取较大的那个作为噪声估计。

$$
P_{\text{GO}} = \max(P_{\text{lead}}, P_{\text{trail}})
$$

适用场景： 杂波边缘环境。

为什么有效： 如果不幸站在杂波边缘，后随窗全是强杂波，前导窗是弱噪声。取最大值（强杂波）可以避免因为平均值被”中和”而导致门限过低、虚警暴增。

文字版：

1
2
3

前导窗 avg = 10    后随窗 avg = 1000
CA-CFAR: (10+1000)/2 = 505 → 门限 505 → OK
GO-CFAR: max(10, 1000) = 1000 → 门限 1000 → 更安全

SO-CFAR（Smallest Of CFAR）—— 取最小值

思想： 分别计算前导窗和后随窗的平均值，取较小的那个作为噪声估计。

$$
P_{\text{SO}} = \min(P_{\text{lead}}, P_{\text{trail}})
$$

适用场景： 多目标环境（参考窗内有其他目标的情况）。

为什么有效： 如果前导窗有一个目标，后随窗也有一个目标，CA-CFAR 会被两个目标同时拉高门限。SO-CFAR 取其中较小的那个，至少有一半的概率选了没有目标的那一侧，门限不会被过度抬高。

文字版：

1
2
3

前导窗 avg = 200（含1个目标）  后随窗 avg = 10（纯噪声）
CA-CFAR: (200+10)/2 = 105 → 门限 105 → 目标可能漏掉
SO-CFAR: min(200, 10) = 10 → 门限 10 → 目标可见！

7.5.5 OS-CFAR（有序统计量 CFAR）

OS-CFAR 是抗多目标干扰能力最强的 CFAR 方法之一。

思想： 对参考单元的功率值从小到大排序，然后选取第 $k$ 个值（排序后的第 $k$ 个）作为噪声估计。

算法步骤：

将 $N$ 个参考单元的功率从小到大排序：$x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(N)}$
取第 $k$ 个值 $x_{(k)}$ 作为噪声估计
门限：$T = \alpha_{\text{OS}} \cdot x_{(k)}$

为什么有效：

假设 $N = 16$，$k = 12$（取排序后的第12个值，即较高的值）。

如果参考窗内有 3 个目标但它们是异常高强度值，排序后会被排到最末尾（第14、15、16位）
第 $k=12$ 个值大概率来自纯噪声单元
因此 OS-CFAR 可以容忍最多 $N-k$ 个干扰目标

OS-CFAR 的容忍度： 当参考窗内有 $M$ 个目标时，只要 $M < N - k$，就不会对噪声估计产生显著影响。

工程设计经验： 通常取 $k = 3N/4$（即排序后的 75% 分位数）。

7.5.6 四种 CFAR 对比总结

CFAR 类型	全称	核心操作	优点	缺点
CA-CFAR	Cell Averaging	取平均值	均匀环境最优	杂波边缘/多目标差
GO-CFAR	Greatest Of	取最大值	抑制杂波边缘虚警	检测概率损失
SO-CFAR	Smallest Of	取最小值	多目标环境较好	杂波边缘虚警增加
OS-CFAR	Ordered Statistic	排序选第k个	抗多目标最强	计算量大

如何选择？

应用场景	推荐方案
均匀噪声环境	CA-CFAR
有杂波边缘（如海岸线）	GO-CFAR
多目标密集（如机群）	OS-CFAR
不确定环境	OS-CFAR（最稳健）

7.5.7 一维 CFAR vs 二维 CFAR

雷达的 MTD 输出是距离-多普勒图（二维数据）。CFAR 可以在距离维单独做，也可以在距离和多普勒两个维度同时做。

一维 CFAR：

只在距离维上取参考窗
距离 → 
[ ][ ][CUT][ ][ ]
<-- 参考窗 -->

二维 CFAR：

在多普勒维和距离维同时取参考窗

        多普勒通道 →
       k-2 k-1  k  k+1 k+2
距离    ┌───────────────┐
r-2    │ ×  ×  ×  ×  × │  × = 参考单元
r-1    │ ×  ×  ×  ×  × │  
r      │ ×  × [CUT] ×  × │
r+1    │ ×  ×  ×  ×  × │  [CUT] = 待检测单元
r+2    │ ×  ×  ×  ×  × │
       └───────────────┘
       
       保护区域（CUT 周围一圈或两圈不参与估计）

二维 CFAR 的优势：

利用了更多的参考样本 → 噪声估计更准确
考虑了杂波在距离-多普勒平面上的分布特性
对复杂杂波环境适应性更好

二维 CFAR 的代价：

计算量大得多
实现复杂
需要更多的存储空间

7.5.8 递归（递推）CFAR

对于视频信号的 CFAR 处理（逐距离单元连续处理），可以用递归方式实现：

$$y(n) = (1-K) \cdot s(n) + K \cdot y(n-1)$$

其中：

$y(n)$：当前时刻的噪声功率估计
$s(n)$：当前距离单元的信号功率
$K$：遗忘因子（0 < K < 1），通常在 0.5~1 之间
$y(n-1)$：上一时刻的噪声功率估计

物理意义： 当前估计 = (1-K) × 当前测量 + K × 过去估计。时间越远的样本权重越小（被”遗忘”）。

系统函数（Z 变换）：
$$H(z) = \frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}$$

其中 $a = 1-K$ 是更新因子。

这本质上是一个一阶 IIR 低通滤波器，对输入信号求滑动指数加权平均。

递归 CFAR 的优缺点：

优点：计算量极小，只需一次乘法和一次加法
缺点：响应速度慢，突然变化的杂波环境需要一定时间才能跟上

本章总结

核心要点

检测是一个二选一的问题：$H_0$（无目标）vs $H_1$（有目标），涉及虚警概率 $P_{FA}$、检测概率 $P_D$、漏警概率 $P_M$。
Neyman-Pearson 准则：在固定 $P_{FA}$ 的条件下最大化 $P_D$，是雷达检测最常用的准则。
噪声统计模型：瑞利分布（热噪声检波后）、韦布尔/对数正态/K分布（杂波）——根据场景选择合适的模型。
M/N 检测：多次观测中 $M$ 次超门限即判有目标，有效抑制虚警。
CFAR 是雷达检测的核心技术：
- CA-CFAR：参考窗取平均，均匀环境最优，但杂波边缘和多目标环境差
- GO-CFAR：取前后窗最大值，抗杂波边缘
- SO-CFAR：取前后窗最小值，抗多目标干扰
- OS-CFAR：排序选第 $k$ 个，抗多目标最强，计算量大
二维 CFAR 在距离-多普勒平面上做检测，性能好但计算复杂。

几个最重要的公式

公式	含义
$P_{FA} = e^{-T^2/\sigma^2}$	瑞利噪声下虚警概率与门限的关系
$P_{FA} = (1+\alpha)^{-N}$	CA-CFAR 的虚警概率与门限因子关系
$\alpha = P_{FA}^{-1/N} - 1$	CA-CFAR 门限因子计算
$y(n) = (1-K)s(n) + Ky(n-1)$	递归 CFAR 的递推公式

CFAR 选型速查表

环境特点	推荐 CFAR	选择原因
海面均匀杂波	CA-CFAR	均匀环境最优
海岸线（地海交界）	GO-CFAR	控制杂波边缘虚警
密集机群检测	OS-CFAR	抗多目标干扰
多目标 + 杂波边缘	OS-CFAR	综合稳健性最强

本章计算练习题

题1：虚警概率与门限

高斯白噪声的功率 $\sigma^2 = 1$，经过检波器后输出幅度服从瑞利分布。如果检测门限设为 $T = 3$，求虚警概率 $P_{FA}$。

点击查看解答

瑞利分布下虚警概率公式：
$$P_{FA} = e^{-T^2/(2\sigma^2)} = e^{-9/2} = e^{-4.5} \approx 0.0111 = 1.11%$$

即每 100 次检测中，大约会有 1 次虚警。如果想让 $P_{FA} < 10^{-6}$：
$$e^{-T^2/(2\sigma^2)} < 10^{-6}$$
$$-\frac{T^2}{2\sigma^2} < \ln(10^{-6}) = -13.82$$
$$T > \sigma \sqrt{2 \times 13.82} \approx 5.26\sigma$$

门限需设到 5.26 倍噪声均方根以上。

题2：CA-CFAR 门限因子

CA-CFAR 使用 $N = 24$ 个参考单元，期望的虚警概率 $P_{FA} = 10^{-6}$。求门限因子 $\alpha$。

点击查看解答

CA-CFAR 的虚警概率与门限因子的关系：
$$P_{FA} = (1 + \alpha)^{-N}$$

解出 $\alpha$：
$$\alpha = P_{FA}^{-1/N} - 1 = (10^{-6})^{-1/24} - 1$$

$$10^{-6} = 0.000001$$
$$P_{FA}^{-1/N} = (10^{-6})^{-1/24} = 10^{6/24} = 10^{0.25} \approx 1.778$$

$$\alpha \approx 1.778 - 1 = 0.778$$

即检测门限设为：$T = \alpha \cdot \mu = 0.778 \times \text{（参考单元平均功率）}$。

题3：CA-CFAR 的标称化因子

与题2相同的 CA-CFAR 设置（$N = 24$，$P_{FA} = 10^{-6}$），如果参考单元中有一个干扰目标使平均功率升高了 3 dB，问实际 $P_{FA}$ 会如何变化？

点击查看解答

CA-CFAR 门限：$T = \alpha \cdot \mu$

当参考单元中存在干扰目标时，$\mu$ 被抬高。假设 $\mu$ 升高了 3 dB（即变为原来的 2 倍），但由于 $\alpha$ 不变，门限 $T$ 也升高到原来的 2 倍。

而真实的噪声功率 $\sigma^2$ 并没有变，所以实际的门限-噪声比升高了。

对于待检测单元的实际 $P_{FA}$：
$$P_{FA,\text{实际}} = e^{-T^2/(2\sigma^2)}$$

$T$ 变为 2 倍，$T^2$ 变为 4 倍，$P_{FA}$ 指数级下降——看起来变好了（虚警降低），但问题在于：如果待检测单元正好有一个目标，其信号也需要克服更高的门限，导致检测概率 $P_D$ 也会下降。

这就是 CA-CFAR 在多目标环境中的”目标遮蔽”问题——干扰目标抬高门限，导致真实目标被漏检。

题4：M/N 检测

某雷达对同一目标进行 $N = 10$ 次观测，采用 M/N 检测准则，每次观测的 $P_{FA} = 0.01$，$P_D = 0.9$。求 $M = 3$ 时的系统虚警概率和检测概率。

点击查看解答

M/N 检测中，总共 N 次观测，至少 M 次超门限即判有目标。

系统虚警概率（实际无目标，但 ≥ M 次超过门限）：
$$P_{FA,\text{sys}} = \sum_{k=M}^{N} \binom{N}{k} P_{FA}^k (1 - P_{FA})^{N-k}$$

$$P_{FA,\text{sys}} = \sum_{k=3}^{10} \binom{10}{k} (0.01)^k (0.99)^{10-k}$$

计算：

$k=3$：$\binom{10}{3}(0.01)^3(0.99)^7 = 120 \times 10^{-6} \times 0.932 \approx 1.118 \times 10^{-4}$
$k=4$ 及以上可以忽略（数量级更小）

$$P_{FA,\text{sys}} \approx 1.12 \times 10^{-4}$$

系统检测概率（实际有目标，≥ M 次超过门限）：
$$P_{D,\text{sys}} = \sum_{k=3}^{10} \binom{10}{k} (0.9)^k (0.1)^{10-k}$$

用补集法：$P_{D,\text{sys}} = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{10}{k} (0.9)^k (0.1)^{10-k}$

$k=0$：$1 \times 1 \times 10^{-10} \approx 0$
$k=1$：$10 \times 0.9 \times 10^{-9} \approx 9 \times 10^{-9}$
$k=2$：$45 \times 0.81 \times 10^{-8} \approx 3.65 \times 10^{-7}$

$$P_{D,\text{sys}} \approx 1.0$$

M/N 检测大大降低了虚警概率（从 $10^{-2}$ 到 $10^{-4}$），同时保持了几乎 100% 的检测概率。

第8章参数测量与跟踪处理

本章内容

8.1 角度测量
8.2 α-β滤波器
8.3 Kalman滤波器（核心）

8.1 角度测量

8.1.1 为什么要测角度？

生活例子： 你在一个黑暗的房间里，有人拍了一下手。你听到了声音，但你能判断这个人在哪个方向吗？能！因为你的两只耳朵听到的声音有时间差——声音先到达离它近的那只耳朵。你的大脑就是用这个微小的时间差来判断方向的。

雷达也是一样。雷达不仅要告诉”目标有多远”（距离），还要告诉”目标在哪个方向”（角度）。这两个信息加起来，才能锁定目标的位置。

雷达实例： 一部搜索雷达在水平方向旋转天线，当它”看到”目标时，天线所指的方向就是目标的方向。但问题是——天线波束有一定宽度，目标可能在这个范围内的任何地方。我们需要更精确的方法。

8.1.2 相位法测角

这是精度最高的测角方法之一。

基本思路

想象你有两根天线（或者一个天线阵的两个单元），它们之间的距离是 $d$。目标信号从远处传来，由于到两根天线的路程不同，信号到达的时间也不同——这就产生了相位差。

目标方向（与法线夹角θ）
         |
         |
    _____|_____
   |     |     |
   | 天线1|天线2|
   |<--- d --->|

从目标到天线1的路程比到天线2多了一段：$\Delta R = d \cdot \sin\theta$

相位差公式

这段路程差导致的相位差是：

$$
\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot d \cdot \sin\theta
$$

符号解释：

符号	含义	单位
$\phi$	两根天线接收信号的相位差	弧度(rad)
$\lambda$	雷达信号的波长	米(m)
$d$	两根天线的间距	米(m)
$\theta$	目标方向与天线法线的夹角	弧度(rad)

测角公式

反过来，如果我们测量出了相位差 $\phi$，就可以算出角度：

$$
\theta = \arcsin\left(\frac{\lambda \cdot \phi}{2\pi d}\right)
$$

关键问题：测角范围

$-1 \leq \sin\theta \leq 1$，所以 $\frac{\lambda \cdot \phi}{2\pi d}$ 必须在 $[-1, 1]$ 范围内。

当 $\phi$ 超过 $\pm\pi$ 时，会出现相位模糊——你分不清这个相位差是 $30^\circ$ 还是 $390^\circ$（因为 $390^\circ = 30^\circ + 360^\circ$）。

为了避免模糊，需要 $d \leq \frac{\lambda}{2}$。也就是天线间距不能超过半个波长。

直观理解： 就像钟表的指针——如果只看时针，你不知道现在是3点还是15点（差了12小时）。同样，相位是”周期性”的，超过一个周期就会混淆。

雷达实例： 相控阵雷达的阵元间距通常设计为 $\lambda/2$，就是为了避免测角模糊。

8.1.3 比幅法测角

基本思路

比幅法就简单多了——用两个指向略有偏移的天线波束，比较它们接收到的信号幅度。

波束1    波束2
  \       /
   \     /
    \   /
     \ /
      * 目标
     / \
    /   \

如果目标在正中间，两个波束收到的信号一样强
如果目标偏左，左边波束收到的信号更强
如果目标偏右，右边波束收到的信号更强

测角公式

两个波束的方向图（即天线对不同方向信号的增益）分别为 $F_1(\theta)$ 和 $F_2(\theta)$。接收到的信号幅度比为：

$$
\frac{A_1}{A_2} = \frac{F_1(\theta)}{F_2(\theta)}
$$

通过查表或者拟合曲线，从幅度比反推出角度。

直观理解： 就像你有两个手电筒，一个稍微偏左照，一个稍微偏右照。如果一个物体被你左边手电筒照得更亮，那它肯定在偏左的位置。

相位法 vs 比幅法

方法	精度	优点	缺点
相位法	高	对幅度不敏感	有相位模糊问题
比幅法	较低	简单，无模糊	受幅度波动影响大

8.2 α-β滤波器

8.2.1 为什么要跟踪？

生活例子： 你在打羽毛球，对手把球打过来，你的眼睛在看球的飞行轨迹——你其实在做两件事：

预测：球现在在这里，按照它的速度，下一秒会到那里
更新：当球实际飞到某个位置时，你修正你的判断

这个”预测-更新”的过程，就是跟踪的本质。

雷达中的跟踪： 雷达每隔 $T$ 秒（一个扫描周期）测量一次目标的位置。但测量有误差（噪声），而且两次测量之间目标的位置是未知的。我们需要一种方法，既能平滑测量噪声，又能预测目标下一时刻的位置。

8.2.2 α-β滤波器的原理

α-β滤波器是最简单的跟踪滤波器，适合跟踪匀速直线运动的目标。

两步走：预测 + 更新

第一步：预测

在 $k$ 时刻（第 $k$ 次扫描），我们根据之前的信息，预测目标现在的位置：

$$
\hat{x}(k|k-1) = \hat{x}(k-1) + \hat{v}(k-1) \cdot T
$$

$$
\hat{v}(k|k-1) = \hat{v}(k-1)
$$

符号解释：

符号	含义	单位
$\hat{x}(k\|k-1)$	根据前 $k-1$ 次数据预测的 $k$ 时刻位置	米(m)
$\hat{x}(k-1)$	$k-1$ 时刻的更新后位置估计	米(m)
$\hat{v}(k-1)$	$k-1$ 时刻的速度估计	米/秒(m/s)
$\hat{v}(k\|k-1)$	预测的 $k$ 时刻速度	米/秒(m/s)
$T$	雷达扫描周期	秒(s)

预测的逻辑： 如果上一秒你在10米处，以10米/秒的速度运动，那么这一秒你应该在 $10 + 10 \times 1 = 20$ 米处。速度不变（匀速假设）。

第二步：测量

雷达在 $k$ 时刻实际测量到了目标的位置 $z(k)$。这个测量有误差。

第三步：更新

用测量值来修正预测值：

$$
\hat{x}(k) = \hat{x}(k|k-1) + \alpha \cdot [z(k) - \hat{x}(k|k-1)]
$$

$$
\hat{v}(k) = \hat{v}(k|k-1) + \frac{\beta}{T} \cdot [z(k) - \hat{x}(k|k-1)]
$$

符号解释：

符号	含义	范围
$\alpha$	位置修正系数	$0 < \alpha < 1$
$\beta$	速度修正系数	$0 < \beta < 1$
$z(k) - \hat{x}(k\|k-1)$	新息(Innovation)——测量值与预测值的差	米(m)

直观理解：

新息 = 测量值 - 预测值 = “我没想到的偏差”

如果新息是 +2 米（测量值比预测值远2米），说明目标比我们想象的更远，需要把位置和速度往上调
$\alpha$ 越大，越相信测量；$\alpha$ 越小，越相信预测

8.2.3 α和β的取值

α和β的选择直接影响滤波器的性能：

$\alpha$ 和 $\beta$ 的关系（临界阻尼）：

$$
\beta = \frac{\alpha^2}{2 - \alpha}
$$

典型取值：
- $\alpha = 0.3\text{~~}0.5$，对应的 $\beta = 0.05\text{~~}0.4$
- $\alpha$ 越大，跟踪越快（响应快），但噪声抑制差（不平滑）
- $\alpha$ 越小，跟踪越慢，但噪声抑制好（平滑）
物理含义：
- $\alpha = 0.5$：测量值和预测值各占一半权重
- $\alpha = 0.3$：更相信预测值，噪声抑制好但响应慢

直观理解： 就像开车时看导航——如果导航更新很快（$\alpha$ 大），你会频繁调整方向，但可能因为GPS噪声而走”蛇形”；如果更新慢（$\alpha$ 小），路线平滑但遇到急转弯会反应不及。

8.2.4 α-β-γ滤波器

如果目标有加速度（不是匀速运动），就需要引入第三个参数 $\gamma$ 来估计加速度：

$$
\hat{a}(k|k-1) = \hat{a}(k-1)
$$

$$
\hat{a}(k) = \hat{a}(k|k-1) + \frac{\gamma}{T^2} \cdot [z(k) - \hat{x}(k|k-1)]
$$

记忆口诀：

α-β滤波器：跟踪位置+速度（匀速目标）
α-β-γ滤波器：跟踪位置+速度+加速度（匀加速目标）

8.3 Kalman滤波器（核心！）

8.3.1 为什么需要Kalman滤波器？

α-β滤波器有两个局限：

α和β是固定的——不能根据情况动态调整
没有考虑测量噪声的变化——如果这次测量特别不准，还是用同样的α

Kalman滤波器的突破： Kalman滤波器能动态调整增益——当测量比较可靠时，更相信测量；当预测比较可靠时，更相信预测。而且它还能给出估计的不确定度（协方差）。

生活例子： 你在一个陌生的地方用手机导航。当GPS信号好时（误差小），你相信导航；当进入隧道时（GPS信号差），你更相信自己的速度推算。Kalman滤波器就是自动做这个”该信谁”的决策。

8.3.2 Kalman滤波器的数学模型

Kalman滤波器假设系统是线性的，且噪声是高斯分布的。

状态方程（描述目标如何运动）

$$
\mathbf{x}(k) = \mathbf{F} \cdot \mathbf{x}(k-1) + \mathbf{w}(k-1)
$$

符号解释：

符号	含义	说明
$\mathbf{x}(k)$	$k$ 时刻的状态向量	包含位置、速度…
$\mathbf{F}$	状态转移矩阵	描述状态如何随时间演化
$\mathbf{w}(k-1)$	过程噪声	模型不准带来的误差（高斯分布）

观测方程（描述雷达如何测量）

$$
\mathbf{z}(k) = \mathbf{H} \cdot \mathbf{x}(k) + \mathbf{v}(k)
$$

符号	含义	说明
$\mathbf{z}(k)$	$k$ 时刻的测量向量	雷达实际测到的值
$\mathbf{H}$	观测矩阵	将状态映射到测量空间
$\mathbf{v}(k)$	测量噪声	雷达测量误差（高斯分布）

噪声的统计特性

过程噪声 $\mathbf{w} \sim N(0, \mathbf{Q})$ —— 均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{Q}$
测量噪声 $\mathbf{v} \sim N(0, \mathbf{R})$ —— 均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{R}$

8.3.3 一个具体的跟踪例子

让我们用一个一维匀速运动的例子来逐步演示。

问题设定

一辆车沿直线行驶。我们每隔 $T = 1$ 秒测量一次它的位置。

状态向量： $\mathbf{x}(k) = \begin{bmatrix} x(k) \ v(k) \end{bmatrix}$（位置 + 速度）

状态转移矩阵： $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & T \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

为什么？因为：

$x(k) = x(k-1) + v(k-1) \cdot T$（新位置 = 旧位置 + 速度 x 时间）
$v(k) = v(k-1)$（匀速假设）

观测矩阵： $\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$

为什么？因为我们只测量位置，不直接测量速度。所以 $\mathbf{z}(k) = 1 \cdot x(k) + 0 \cdot v(k) = x(k) + \text{噪声}$。

Kalman滤波五步法

Kalman滤波器每步做五件事，我们给它们起个中文名方便记忆：

第1步：状态预测

$$
\hat{\mathbf{x}}(k|k-1) = \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{x}}(k-1)
$$

含义：用上一步的结果，预测当前的状态。

展开形式：

$$
\begin{bmatrix} \hat{x}(k|k-1) \ \hat{v}(k|k-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & T \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{x}(k-1) \ \hat{v}(k-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{x}(k-1) + T \cdot \hat{v}(k-1) \ \hat{v}(k-1) \end{bmatrix}
$$

第2步：协方差预测

$$
\mathbf{P}(k|k-1) = \mathbf{F} \cdot \mathbf{P}(k-1) \cdot \mathbf{F}^T + \mathbf{Q}
$$

含义： 预测的不确定度。$\mathbf{P}$ 是协方差矩阵，对角线元素表示位置和速度的方差（不确定度的平方）。

直观理解： 预测的时间越长，不确定度越大。加上过程噪声 $\mathbf{Q}$，表示模型本身也有误差。

其中，$\mathbf{P}$ 是 $2 \times 2$ 矩阵：

$$
\mathbf{P} = \begin{bmatrix} P_{xx} & P_{xv} \ P_{vx} & P_{vv} \end{bmatrix}
$$

$P_{xx}$：位置估计的方差（不确定度）
$P_{vv}$：速度估计的方差
$P_{xv} = P_{vx}$：位置和速度的协方差（它们相关吗？）

第3步：计算Kalman增益

$$
\mathbf{K}(k) = \mathbf{P}(k|k-1) \cdot \mathbf{H}^T \cdot [\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(k|k-1) \cdot \mathbf{H}^T + \mathbf{R}]^{-1}
$$

含义： 计算”该相信测量还是预测”的权重。

直观理解：

如果测量噪声 $\mathbf{R}$ 很大（测量不准）→ 增益 $\mathbf{K}$ 小 → 更相信预测
如果预测协方差 $\mathbf{P}$ 很大（预测不准）→ 增益 $\mathbf{K}$ 大 → 更相信测量

第4步：状态更新

$$
\hat{\mathbf{x}}(k) = \hat{\mathbf{x}}(k|k-1) + \mathbf{K}(k) \cdot [\mathbf{z}(k) - \mathbf{H} \cdot \hat{\mathbf{x}}(k|k-1)]
$$

含义： 用测量值修正预测值。

和 α-β 滤波器对比：

$\mathbf{K}(k)$ 相当于 $\alpha$（位置增益）
但 $\mathbf{K}(k)$ 是动态变化的！不是固定的 $\alpha$！

第5步：协方差更新

$$
\mathbf{P}(k) = [\mathbf{I} - \mathbf{K}(k) \cdot \mathbf{H}] \cdot \mathbf{P}(k|k-1)
$$

含义： 更新不确定度。因为加入测量后，不确定度应该减小。

8.3.4 完整数值例子

这才是Kalman滤波的精髓！让我们用一个完整的数值例子手把手演算。

场景

一辆车从原点出发，以 $v_0 = 10\text{ m/s}$ 的速度匀速行驶。雷达每 $T = 1$ 秒测量一次位置，共测量4次。

测量值：$z = [12\text{ m}, 19\text{ m}, 34\text{ m}, 41\text{ m}]$

参数设置

参数	值	含义
$T$	1 秒	采样间隔
$\mathbf{Q}$	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$	过程噪声（理想匀速，无噪声）
$\mathbf{R}$	$[2]$	测量噪声方差（标准偏差约1.4米）
$\mathbf{P}(0)$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$	初始不确定度

初始状态

$$
\hat{x}(0) = 0 \text{ m}, \quad \hat{v}(0) = 10 \text{ m/s}, \quad \mathbf{P}(0) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

第1步（k=1）

（1）状态预测：

$$
\hat{x}(1|0) = \hat{x}(0) + T \cdot \hat{v}(0) = 0 + 1 \times 10 = 10 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(1|0) = \hat{v}(0) = 10 \text{ m/s}
$$

（2）协方差预测：

$$
\mathbf{P}(1|0) = \mathbf{F} \cdot \mathbf{P}(0) \cdot \mathbf{F}^T + \mathbf{Q}
$$

先算 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{P}(0)$：

$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

再乘 $\mathbf{F}^T$：

$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 1 & 1 \times 0 + 1 \times 1 \ 0 \times 1 + 1 \times 1 & 0 \times 0 + 1 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$

加 $\mathbf{Q} = \mathbf{0}$，结果不变：$\mathbf{P}(1|0) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$

（3）计算增益：

$$
\mathbf{K}(1) = \mathbf{P}(1|0) \cdot \mathbf{H}^T \cdot [\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(1|0) \cdot \mathbf{H}^T + \mathbf{R}]^{-1}
$$

先算 $\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(1|0) \cdot \mathbf{H}^T$：

$$
\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(1|0) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix}
$$

$$
\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(1|0) \cdot \mathbf{H}^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} = 2
$$

加上 $\mathbf{R} = 2$：

$$
\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(1|0) \cdot \mathbf{H}^T + \mathbf{R} = 2 + 2 = 4
$$

计算增益：

$$
\mathbf{K}(1) = \mathbf{P}(1|0) \cdot \mathbf{H}^T \cdot \frac{1}{4} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{4} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{4} = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.25 \end{bmatrix}
$$

所以 $K_x = 0.5$（位置增益），$K_v = 0.25$（速度增益）。

（4）状态更新：

新息 = $z(1) - \hat{x}(1|0) = 12 - 10 = 2$ m

$$
\hat{x}(1) = \hat{x}(1|0) + K_x \cdot \text{新息} = 10 + 0.5 \times 2 = 11 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(1) = \hat{v}(1|0) + K_v \cdot \text{新息} = 10 + 0.25 \times 2 = 10.5 \text{ m/s}
$$

（5）协方差更新：

$$
\mathbf{P}(1) = [\mathbf{I} - \mathbf{K} \cdot \mathbf{H}] \cdot \mathbf{P}(1|0) = \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.25 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \right) \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$

$$
= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \ -0.25 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 0.5 & 0.75 \end{bmatrix}
$$

第2步（k=2）

（1）状态预测：

$$
\hat{x}(2|1) = 11 + 1 \times 10.5 = 21.5 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(2|1) = 10.5 \text{ m/s}
$$

（2）协方差预测：

$$
\mathbf{P}(2|1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 0.5 & 0.75 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$

先算第一步：

$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 0.5 & 0.75 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 1.25 \ 0.5 & 0.75 \end{bmatrix}
$$

再乘 $\mathbf{F}^T$：

$$
\begin{bmatrix} 1.5 & 1.25 \ 0.5 & 0.75 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 \times 1 + 1.25 \times 1 & 1.5 \times 0 + 1.25 \times 1 \ 0.5 \times 1 + 0.75 \times 1 & 0.5 \times 0 + 0.75 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.75 & 1.25 \ 1.25 & 0.75 \end{bmatrix}
$$

（3）计算增益：

$$
\mathbf{H} \cdot \mathbf{P}(2|1) \cdot \mathbf{H}^T + \mathbf{R} = 2.75 + 2 = 4.75
$$

$$
\mathbf{K}(2) = \begin{bmatrix} 2.75 \ 1.25 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{4.75} = \begin{bmatrix} 0.579 \ 0.263 \end{bmatrix}
$$

（4）状态更新：

新息 = $19 - 21.5 = -2.5$ m

$$
\hat{x}(2) = 21.5 + 0.579 \times (-2.5) = 21.5 - 1.448 = 20.05 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(2) = 10.5 + 0.263 \times (-2.5) = 10.5 - 0.658 = 9.84 \text{ m/s}
$$

第3步（k=3）

（1）状态预测：

$$
\hat{x}(3|2) = 20.05 + 1 \times 9.84 = 29.89 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(3|2) = 9.84 \text{ m/s}
$$

（这里省略中间计算，直接给结果）

（4）状态更新：

新息 = $34 - 29.89 = 4.11$ m

$$
\hat{x}(3) \approx 29.89 + 0.60 \times 4.11 \approx 32.36 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(3) \approx 9.84 + 0.27 \times 4.11 \approx 10.95 \text{ m/s}
$$

第4步（k=4）

（1）状态预测：

$$
\hat{x}(4|3) = 32.36 + 1 \times 10.95 = 43.31 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(4|3) = 10.95 \text{ m/s}
$$

（4）状态更新：

新息 = $41 - 43.31 = -2.31$ m

$$
\hat{x}(4) \approx 43.31 + 0.61 \times (-2.31) \approx 41.90 \text{ m}
$$

$$
\hat{v}(4) \approx 10.95 + 0.27 \times (-2.31) \approx 10.33 \text{ m/s}
$$

结果对比

时刻	测量值	Kalman估计	真实值（假设）	误差
1	12 m	11.00 m	10 m	+1.00 m
2	19 m	20.05 m	20 m	+0.05 m
3	34 m	32.36 m	30 m	+2.36 m
4	41 m	41.90 m	40 m	+1.90 m

观察： Kalman滤波器的估计比原始测量更接近真实值！这就是滤波的力量——去除噪声，逼近真实。

增益变化的趋势

k	$K_x$ (位置增益)
1	0.500
2	0.579
3	0.600
4	0.610

趋势： 随着时间推移，Kalman增益趋于稳定。这就是为什么在稳态情况下，α-β滤波器可以近似Kalman滤波器——α和β就是增益稳定后的值！

8.3.5 α-β滤波器 vs Kalman滤波器

特性	α-β滤波器	Kalman滤波器
增益	固定α, β	动态K(k)，每步更新
噪声模型	无	Q和R矩阵
不确定度	无	协方差矩阵P
计算量	很小	较大
适用场景	简单跟踪	任意线性系统

直观理解：

α-β滤波器像是一个”固定公式”，不管情况怎么变，修正力度都一样
Kalman滤波器像是一个”智能系统”，根据当前的不确定度动态调整修正力度

8.3.6 扩展Kalman滤波器（EKF）

现实中的运动往往不是线性的：

卫星绕地球做圆周运动
导弹做机动飞行
汽车在弯道上转弯

对于非线性系统，标准Kalman滤波器不再适用，需要使用扩展Kalman滤波器（EKF）。

EKF的核心思想： 把非线性问题近似成线性问题。

比如目标做圆周运动：$\mathbf{x}(k) = \begin{bmatrix} r \cdot \cos(\omega k) \ r \cdot \sin(\omega k) \end{bmatrix}$

这不是线性方程，但可以通过泰勒展开取一阶近似：

$$
f(x) \approx f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0)
$$

把非线性函数在当前估计点展开，丢掉高阶项，就变成了线性问题。

更高级的变种：

名称	原理	特点
EKF	泰勒一阶展开	最简单，但强非线性时误差大
UKF	无迹变换	用采样点逼近，精度更高
CKF	容积点变换	高维系统更稳定
粒子滤波	蒙特卡洛采样	非高斯噪声也行，但计算量大

本章总结

角度测量

相位法测角：利用两根天线之间的相位差计算角度，精度高但有模糊问题
比幅法测角：利用两个波束接收幅度比计算角度，简单但精度较低

跟踪滤波器

预测-更新框架：所有跟踪滤波器的核心——先预测，再用测量修正
α-β滤波器：固定增益，简单高效，适合匀速目标
Kalman滤波器：动态增益，考虑噪声统计特性，最优线性滤波

Kalman滤波五步法（必须记住！）

状态预测  →  x̂(k|k-1) = F · x̂(k-1)
协方差预测 →  P(k|k-1) = F·P(k-1)·Fᵀ + Q
计算增益   →  K(k) = P(k|k-1)·Hᵀ·[H·P(k|k-1)·Hᵀ + R]⁻¹
状态更新   →  x̂(k) = x̂(k|k-1) + K(k)·[z(k) - H·x̂(k|k-1)]
协方差更新 →  P(k) = [I - K(k)·H]·P(k|k-1)

关键概念

概念	一句话
新息	测量值 - 预测值 = “我没想到的部分”
Kalman增益	测量和预测的权重分配器
协方差矩阵	不确定度的”官方度量”
Q矩阵	模型不准确的代价
R矩阵	测量不准确的代价

记忆口诀

“预测先，测量后，增益决定信谁好，协方差里藏玄机，五步循环永不老。”

本章计算练习题

题1：α-β 滤波器滤波

α-β 滤波器跟踪匀速目标，$\alpha = 0.6$，$\beta = 0.3$。已知 $k-1$ 时刻的滤波值为 $\hat{x}{k-1} = 100\ \text{m}$，$\hat{v}{k-1} = 10\ \text{m/s}$，时间间隔 $T = 1\ \text{s}$。$k$ 时刻的测量值 $z_k = 115\ \text{m}$。求滤波后的位置和速度。

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α-β 滤波器步骤：

预测：
$$\hat{x}{k|k-1} = \hat{x}{k-1} + \hat{v}{k-1} \cdot T = 100 + 10 \times 1 = 110\ \text{m}$$
$$\hat{v}{k|k-1} = \hat{v}_{k-1} = 10\ \text{m/s}$$

新息（测量-预测）：
$$\Delta = z_k - \hat{x}_{k|k-1} = 115 - 110 = 5\ \text{m}$$

位置更新：
$$\hat{x}k = \hat{x}{k|k-1} + \alpha \cdot \Delta = 110 + 0.6 \times 5 = 113\ \text{m}$$

速度更新：
$$\hat{v}k = \hat{v}{k|k-1} + \frac{\beta}{T} \cdot \Delta = 10 + \frac{0.3}{1} \times 5 = 11.5\ \text{m/s}$$

滤波后的位置 113 m，速度 11.5 m/s。

题2：Kalman 滤波器一步计算

一维匀速运动 Kalman 滤波器，状态 $x = [\text{位置}, \text{速度}]^T$。已知：

$F = \begin{bmatrix} 1 & T \ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$T = 1\ \text{s}$
$H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$
$Q = \begin{bmatrix} 0.01 & 0 \ 0 & 0.01 \end{bmatrix}$，$R = 1$
$\hat{x}(k-1) = \begin{bmatrix} 100 \ 10 \end{bmatrix}$，$P(k-1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
测量 $z(k) = 115$

请执行一步 Kalman 滤波。

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步骤1：状态预测
$$\hat{x}(k|k-1) = F \cdot \hat{x}(k-1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 100 \ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 110 \ 10 \end{bmatrix}$$

步骤2：协方差预测
$$P(k|k-1) = F \cdot P(k-1) \cdot F^T + Q$$

$$P(k|k-1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.01 & 0 \ 0 & 0.01 \end{bmatrix}$$

$$P(k|k-1) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.01 & 0 \ 0 & 0.01 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.01 & 1 \ 1 & 1.01 \end{bmatrix}$$

步骤3：Kalman 增益
$$K(k) = P(k|k-1) H^T [H P(k|k-1) H^T + R]^{-1}$$

$$K(k) = \begin{bmatrix} 2.01 \ 1 \end{bmatrix} (2.01 + 1)^{-1} = \begin{bmatrix} 2.01 \ 1 \end{bmatrix} \times \frac{1}{3.01}$$

$$K(k) = \begin{bmatrix} 0.668 \ 0.332 \end{bmatrix}$$

步骤4：状态更新
$$\hat{x}(k) = \hat{x}(k|k-1) + K(k) [z(k) - H \hat{x}(k|k-1)]$$

$$= \begin{bmatrix} 110 \ 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.668 \ 0.332 \end{bmatrix} \times (115 - 110)$$

$$= \begin{bmatrix} 110 \ 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3.34 \ 1.66 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 113.34 \ 11.66 \end{bmatrix}$$

步骤5：协方差更新
$$P(k) = [I - K(k) H] P(k|k-1)$$

$$P(k) = \begin{bmatrix} 1-0.668 & 0 \ -0.332 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.01 & 1 \ 1 & 1.01 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.667 & 0.333 \ 0.333 & 0.676 \end{bmatrix}$$

滤波后的位置为 113.34 m，速度为 11.66 m/s。对比 α-β 的结果（113 m, 11.5 m/s），Kalman 更信任测量。

题3：Kalman 增益的含义

在题2中，如果测量噪声增大到 $R = 100$，其他条件不变。求此时的 Kalman 增益，并解释变化趋势。

点击查看解答

重新计算增益（协方差预测与题2相同 $P(k|k-1) = \begin{bmatrix} 2.01 & 1 \ 1 & 1.01 \end{bmatrix}$）：

$$K(k) = \begin{bmatrix} 2.01 \ 1 \end{bmatrix} (2.01 + 100)^{-1} = \begin{bmatrix} 2.01 \ 1 \end{bmatrix} \times \frac{1}{102.01}$$

$$K(k) = \begin{bmatrix} 0.0197 \ 0.0098 \end{bmatrix}$$

对比 $R = 1$ 时的 $K = [0.668, 0.332]^T$，$R = 100$ 时增益大幅下降。

解释：当测量噪声很大（$R$ 大）时，Kalman 增益变小，滤波器更相信预测而不是测量。

题4：角度测量

比幅法测角中，两个波束方向图分别为 $F_1(\theta) = \cos^2(\theta - 15^\circ)$ 和 $F_2(\theta) = \cos^2(\theta + 15^\circ)$。测得两通道幅度比 $A_1/A_2 = 1.5$，求目标角度 $\theta$。

点击查看解答

幅度比：
$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\cos^2(\theta - 15^\circ)}{\cos^2(\theta + 15^\circ)} = 1.5$$

$$\frac{\cos(\theta - 15^\circ)}{\cos(\theta + 15^\circ)} = \sqrt{1.5} \approx 1.225$$

三角恒等式展开：
$$\frac{\cos\theta \cos 15^\circ + \sin\theta \sin 15^\circ}{\cos\theta \cos 15^\circ - \sin\theta \sin 15^\circ} = 1.225$$

代入 $\cos 15^\circ \approx 0.966$，$\sin 15^\circ \approx 0.259$：

$$\frac{0.966\cos\theta + 0.259\sin\theta}{0.966\cos\theta - 0.259\sin\theta} = 1.225$$

$$0.966\cos\theta + 0.259\sin\theta = 1.183\cos\theta - 0.317\sin\theta$$

$$0.576\sin\theta = 0.217\cos\theta$$

$$\tan\theta = \frac{0.217}{0.576} \approx 0.377$$

$$\theta \approx \tan^{-1}(0.377) \approx 20.7^\circ$$

目标角度约为 20.7°。

第9章波束形成与空时自适应处理

本章内容

9.1 数字波束形成（DBF）
9.2 空时自适应处理（STAP）
9.3 DBF与STAP的关系

9.1 数字波束形成（DBF）

9.1.1 从”耳朵”到”天线阵列”

生活例子： 你在一个嘈杂的派对上，有人叫你的名字。你的大脑做了一件很神奇的事——它能”聚焦”到声音传来的方向，忽略其他方向的噪音。这就是天然的空域滤波。

如果你有两只耳朵，你能大致判断方向；但如果你有十只耳朵分布在房间各处，你就能非常精确地确定声音从哪里来，甚至能”听清”某个方向上的悄悄话。

天线阵列就是雷达的”多个耳朵”。波束形成就是让雷达能”听”向特定方向的技术。

雷达实例： PAVE PAWS 预警雷达有 2677 个阵元（天线单元），它能同时监测多个方向，追踪数百个目标。这就是波束形成的威力。

9.1.2 均匀线阵（ULA）

均匀线阵是最基本的天线阵列形式：

1
2
3

阵元1  阵元2  阵元3  ...  阵元N
  |      |      |           |
  |<--d->|<--d->|           |

$N$：阵元数量
$d$：相邻阵元间距
信号从 $\theta$ 方向入射（相对于法线方向）

什么是”方向图”？

方向图就是天线阵列对不同方向信号的响应——像一个”灵敏度地图”，告诉你在哪个方向上天线最敏感。

直观理解： 就像手电筒的光束——正前方最亮（增益最大），侧面较暗（增益小）。天线方向图就是雷达的”光束形状”。

9.1.3 阵列因子

阵列因子是描述天线阵列方向图的关键公式。

基本推导

每个阵元接收到的信号，由于到达时间不同，存在相位差。

第 $n$ 个阵元相对于第1个阵元的相位差：

$$
\phi_n = (n-1) \cdot \frac{2\pi d}{\lambda} \cdot \sin\theta
$$

符号解释：

符号	含义	单位
$d$	阵元间距	米
$\lambda$	信号波长	米
$\theta$	信号入射方向角度	弧度
$n$	阵元序号	无量纲
$\phi_n$	第 $n$ 个阵元的相位差	弧度

阵列因子公式

把所有阵元的信号加起来，得到阵列因子：

$$
AF(\theta) = \sum_{n=0}^{N-1} a_n \cdot e^{j \cdot n \cdot \frac{2\pi d}{\lambda} \sin\theta}
$$

其中 $a_n$ 是第 $n$ 个阵元的加权系数。

等幅加权时的阵列因子

如果所有 $a_n = 1$（不加权），可化简为：

$$
AF(\theta) = \frac{\sin\left(N \cdot \frac{\pi d}{\lambda} \sin\theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi d}{\lambda} \sin\theta\right)}
$$

方向图（归一化后）：

$$
F(\theta) = \left|\frac{AF(\theta)}{N}\right| = \left|\frac{\sin\left(N \cdot \frac{\pi d}{\lambda} \sin\theta\right)}{N \cdot \sin\left(\frac{\pi d}{\lambda} \sin\theta\right)}\right|
$$

直观理解： 这个公式看起来复杂，但本质上是”多波干涉”——N个波源叠加，在某些方向加强（主瓣），在某些方向抵消（零陷）。

9.1.4 波束指向控制

想让波束指向 $\theta_0$ 方向，在阵元上加相位补偿：

$$
w_n = e^{-j \cdot n \cdot \frac{2\pi d}{\lambda} \sin\theta_0}
$$

这时阵列因子变为：

$$
AF(\theta) = \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \cdot n \cdot \frac{2\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)} = \frac{\sin\left[N \cdot \frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)\right]}{\sin\left[\frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)\right]}
$$

关键点： 当 $\theta = \theta_0$ 时，指数项全部为1，所有信号同相相加，得到最大输出。这就是波束指向的原理。

直观理解： 就像调整望远镜的角度——你想看左边的星星，就把望远镜往左转。同样，你想让雷达”看”向 $\theta_0$ 方向，就调整每个阵元的相位，让它们在这个方向上信号叠加最强。

雷达实例： 相控阵雷达的波束扫描就是通过改变每个阵元的相位来实现的。不需要转动天线，电扫比机械扫描快上千倍！

9.1.5 数字波束形成（DBF）

什么是DBF？

传统模拟波束形成用移相器硬件来实现相位调整。数字波束形成（DBF） 则是在数字域完成——每个阵元的信号经过ADC数字化后，在DSP中用软件做加权求和。

1	`天线阵元 → LNA → 混频 → ADC → 数字加权求和 → 波束输出`

每一路都要ADC：

天线1 → ADC → 
天线2 → ADC →   数字求和    → 波束输出
天线3 → ADC →   (DSP中完成)
 ...    ...
天线N → ADC →

空间快照

在某个时刻 $t_0$，所有阵元接收到的信号构成一个向量：

$$
\mathbf{y} = \hat{A} \cdot [1, e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}, e^{j2\cdot\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}, \ldots, e^{j(N-1)\cdot\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}]^T
$$

$$
\mathbf{y} = \hat{A} \cdot \mathbf{a}_s(\theta)
$$

其中 $\mathbf{a}_s(\theta)$ 称为空间导向矢量——描述了从 $\theta$ 方向来的信号在每个阵元上的相位分布。

波束形成的基本操作

波束形成 = 加权求和：

$$
y = \mathbf{w}^H \cdot \mathbf{y}
$$

其中 $\mathbf{w}$ 是权向量，$\mathbf{w}^H$ 表示共轭转置。

直观理解： 每个阵元信号乘以一个复数权重（调整幅度和相位），然后加起来。如果权重设置得当，从某个方向来的信号会”同相相加”（变得很大），而从其他方向来的信号会”相互抵消”（变得很小）。

常规波束形成

权向量取导向矢量的共轭：

$$
\mathbf{w} = \mathbf{a}_s(\theta_0)
$$

得到的方向图：

$$
F(\theta) = \left|\frac{\sin\left[N \cdot \frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)\right]}{N \cdot \sin\left[\frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)\right]}\right|
$$

这实际上就是上面提到的阵列因子——在 $\theta_0$ 方向有最大响应。

自适应波束形成

问题： 如果有干扰信号从某个方向来，常规波束形成无法抑制它。

解决办法： 自适应调整权值，在干扰方向形成零陷（即增益极小值）。

最经典的自适应波束形成算法：MVDR（最小方差无畸变响应）

$$
\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^H \mathbf{R} \mathbf{w}
$$

$$
\text{subject to } \mathbf{w}^H \mathbf{a}_s(\theta_0) = 1
$$

其中：

符号	含义
$\mathbf{R}$	接收信号的协方差矩阵
$\mathbf{w}$	权向量
$\mathbf{a}_s(\theta_0)$	目标方向的导向矢量

约束的含义： 保证目标方向信号无失真通过（$\mathbf{w}^H \mathbf{a}_s = 1$），同时最小化总输出功率（包括干扰和噪声）。

MVDR的解：

$$
\mathbf{w}_{\text{MVDR}} = \frac{\mathbf{R}^{-1} \cdot \mathbf{a}_s(\theta_0)}{\mathbf{a}_s(\theta_0)^H \cdot \mathbf{R}^{-1} \cdot \mathbf{a}_s(\theta_0)}
$$

直观理解： MVDR就像一个”定向听诊器”——你想听某个方向的微弱声音，但又想屏蔽其他方向的噪音。MVDR自动找到最优的权重组合，在保持目标方向不变的同时，在其他方向”压”出零陷。

自适应波束形成的效果

                  自适应波束方向图
                 ↑
       主瓣指向目标(θ₀)
   _____/‾‾‾\_____
  /     |     \       ← 干扰方向有零陷
 /      |      \         ↓
/       |       \    ____↓____
        |            ↓零陷

对比常规波束形成和自适应波束形成的效果：

场景	常规波束形成	自适应波束形成
只有目标	可以检测	可以检测
目标+强干扰	干扰淹没目标	零陷抑制干扰
多干扰环境	性能严重下降	灵活形成多个零陷

雷达实例： 电子战环境中，敌方可能施放强干扰信号。自适应波束形成能自动在干扰方向形成零陷，保障雷达正常工作。这就是DBF在现代雷达中不可或缺的原因。

9.1.6 DBF的优点

多波束同时形成：一套天线系统可同时产生多个指向不同的波束
自适应抗干扰：自动在干扰方向形成零陷
超低副瓣：可通过数字加权实现极低的旁瓣
波束形状灵活：可形成赋形波束（如余割平方波束）
自校准和自校正：数字域可补偿通道不一致性

9.1.7 阵列信号处理的”三分天下”

阵列信号处理有三大主题：

阵列信号处理
├── 波束形成 (DBF)  → "让天线看向目标方向"
├── DOA估计          → "目标从哪个方向来？"  
└── 空域滤波         → "抑制不需要方向的信号"

本章讲的DBF解决的是”怎么指向目标“的问题。

9.2 空时自适应处理（STAP）

9.2.1 为什么需要STAP？

从生活例子理解： 想象你在一个大风天用麦克风录音。风噪（相当于雷达的地杂波）是低频的，你可以用高通滤波器滤掉。但如果风声大小和方向不断变化，单纯用频率滤波就不够了。

雷达的困境：

常规MTI（动目标检测）使用一维滤波器（时域/多普勒域），只能滤除静止杂波。但实际情况是：

地杂波在运动（风吹树林、海浪）——杂波也有多普勒频移
杂波分布不均匀——不同方向的杂波强度不同
干扰也是空变的——干扰从特定方向来

结论： 只用一维滤波（时间或多普勒）不够！需要空域+时域二维联合处理——这就是STAP。

9.2.2 空时二维谱

什么是空时二维谱？

每个杂波点都有两个属性：

角度（空间域）：从哪个方向来？
多普勒频率（时间域）：速度是多少？

将杂波画在”角度-多普勒”平面上：

多普勒频率(fd)
    ↑
  0.5|   \   杂波脊
  PRF|    \   (clutter ridge)
      |     \
    0 |______\______→ 角度(sinθ)
      |       \
 -0.5 |        \
  PRF |         \

杂波脊（Clutter Ridge）： 杂波在角度-多普勒平面上沿着一条斜线分布——这是因为不同角度的杂波有不同的径向速度，从而有不同的多普勒频率。

多普勒与角度的关系公式

对于机载雷达，平台以速度 $v$ 运动，杂波点的多普勒频率为：

$$
f_D = \frac{2v}{\lambda} \cdot \sin\theta
$$

其中：

符号	含义	单位
$f_D$	多普勒频率	Hz
$v$	载机速度	m/s
$\lambda$	雷达波长	m
$\theta$	杂波方向与航向的夹角	弧度

直观理解： 飞机飞过地面，前方的地物向你靠近（正多普勒），后方的地物远离你（负多普勒），侧方的地物几乎没有径向速度（零多普勒）。所以杂波在角度-多普勒图上呈现一条”脊”。

为什么一维滤波不够？

全频域滤波（MTI）： 只能抑制零多普勒附近的杂波，但运动杂波（如风吹的树）有非零多普勒，会漏过
空域滤波（DBF）： 只能抑制特定方向的干扰，但杂波从所有方向来

空时二维滤波： 同时利用角度和多普勒信息，在二维平面上”挖”出目标所在的位置。

9.2.3 STAP的数据结构

空时数据立方体

STAP处理的数据是一个三维数据块：

  多普勒脉冲(m)
    ↑
M-1 ┼
 ...│
  1 ┼──→ 距离门(l)
    │
    └──→ 阵元(n)
       N

三个维度：

$N$：阵元数（空域）
$M$：一个CPI内的脉冲数（时域/多普勒域）
$L$：距离门数

空时快拍

对某一个距离门，取出所有N个阵元和M个脉冲的数据，得到一个 $NM \times 1$ 的向量：

$$
\mathbf{x} = [x(0,0), x(0,1), \ldots, x(N-1,M-1)]^T
$$

这就是空时快拍——包含了该距离门的所有空时信息。

空时导向矢量

目标信号的空时导向矢量是两个导向矢量的Kronecker积：

$$
\mathbf{s} = \mathbf{s}_t(f_d) \otimes \mathbf{s}_s(\theta)
$$

$\mathbf{s}_s(\theta) = [1, e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}, \ldots, e^{j(N-1)\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}]^T$ —— 空域导向矢量
$\mathbf{s}_t(f_d) = [1, e^{j2\pi f_d T}, \ldots, e^{j(M-1)2\pi f_d T}]^T$ —— 时域导向矢量
$\otimes$ 表示Kronecker积

直观理解： 空时导向矢量描述了”从 $\theta$ 方向来、以 $f_d$ 多普勒运动”的目标在所有阵元和脉冲上的响应模式。

9.2.4 最优STAP

STAP的基本思想

STAP本质上是一个二维自适应滤波器：

$$
y = \mathbf{w}^H \cdot \mathbf{x}
$$

其中 $\mathbf{w}$ 是 $NM \times 1$ 的权向量。

权向量计算

最优STAP权向量的推导和MVDR类似：

$$
\mathbf{w}_{\text{opt}} = \frac{\mathbf{R}^{-1} \cdot \mathbf{s}}{\mathbf{s}^H \cdot \mathbf{R}^{-1} \cdot \mathbf{s}}
$$

其中：

符号	含义
$\mathbf{R}$	空时协方差矩阵（$NM \times NM$）
$\mathbf{s}$	空时导向矢量
$\mathbf{w}_{\text{opt}}$	最优权向量

协方差矩阵的构成

空时协方差矩阵包含三种成分：

$$
\mathbf{R} = \mathbf{R}_n + \mathbf{R}_j + \mathbf{R}_c
$$

成分	含义	来源
$\mathbf{R}_n$	噪声协方差	热噪声等
$\mathbf{R}_j$	干扰协方差	人为干扰
$\mathbf{R}_c$	杂波协方差	地/海/气象杂波

性能评价指标：SINR损失

$$
\text{SINR}{\text{loss}} = \frac{\text{SINR}{\text{out}}}{\text{SNR}_{\text{in}}}
$$

SINRloss = 0 dB：完美处理，无损失
SINRloss = -3 dB：损失一半
SINRloss = -10 dB：损失90%，基本无法检测

STAP的核心矛盾

问题： $\mathbf{R}$ 是 $NM \times NM$ 的矩阵。如果 $N = 20$，$M = 20$，则 $\mathbf{R}$ 是 $400 \times 400 = 160,000$ 个元素。要准确估计 $\mathbf{R}$，需要 $2NM \approx 800$ 个独立同分布的样本！

这就是STAP最大的挑战—— 样本需求量巨大，计算量惊人。

9.2.5 STAP的局限性

问题	描述	后果
计算量大	$NM$ 维矩阵求逆	实时处理困难
样本需求高	需要 $2NM$ 个独立样本	非均匀环境性能下降
非均匀杂波	城市、山区杂波分布复杂	协方差估计不准
运动目标模糊	低速目标被杂波脊淹没	难以检测
最小可检测速度	杂波脊附近有一个”盲区”	低速目标无法检测

9.2.6 STAP的典型处理流程

接收数据(空时快拍)
     ↓
协方差矩阵估计 R̂ = (1/L) · Σ x(l)·x(l)ᴴ
     ↓
计算最优权值 w = R⁻¹·s / (sᴴ·R⁻¹·s)
     ↓
空时滤波 y = wᴴ·x
     ↓
CFAR检测
     ↓
目标报告

9.2.7 降维STAP

由于最优STAP的计算量太大，实际系统中使用降维STAP。

降维的思路

不是所有NM维数据都需要——我们只关心目标所在的那个角度-多普勒单元附近的区域。因此可以：

先做常规波束形成（降空域维数）
再做多普勒滤波（降时域维数）
在少量通道上做自适应（降低矩阵维数）

直观理解： 最优STAP像是在整个NM维空间里”地毯式搜索”，而降维STAP则是在一个缩小了的”重点区域”中搜索。

常见的降维方法

方法	原理	特点
局域化STAP	只在相邻多普勒通道和相邻波束上做自适应	简单实用
ΣΔ-STAP	只用和波束、差波束两个通道	用于跟踪模式
post-Doppler STAP	先做多普勒滤波，再在空域做自适应	最常用
特征对消	只抑制最大的几个特征值对应的杂波分量	适用于强杂波

降维的效果对比

1
2
3

维度： NM         →    N_red·M_red
计算量：(NM)³     →    (N_red·M_red)³
样本需求：2NM     →    2·N_red·M_red

例如：$N=20, M=20$，降到 $N_{red}=3, M_{red}=3$：

矩阵维数：$400 \rightarrow 9$（缩小45倍）
计算量：$6400万 \rightarrow 729$（缩小约88000倍！）
样本需求：$800 \rightarrow 18$（缩小45倍）

当然，降维会带来一定的性能损失，但在实际系统中，这是必要的折中。

9.3 DBF与STAP的关系

两者的区别

维度	DBF	STAP
处理维度	仅空域	空域+时域
权向量维数	$N \times 1$	$NM \times 1$
解决的问题	定向接收/发射	杂波+干扰联合抑制
计算复杂度	$O(N^3)$	$O(N^3M^3)$
应用场景	通信、雷达、声纳	机载雷达、预警雷达

两者的联系

DBF是STAP的特例：当 $M=1$（只用一个脉冲）时，STAP退化为DBF
STAP是DBF的推广：STAP在空域滤波的基础上增加了时域（多普勒）维度
DBF常用于STAP的前端：先用DBF形成多个波束，降低STAP的空域维度

一句话总结

DBF是”在空间域上定向“，STAP是”在空间-时间二维平面上精确定位目标并抑制杂波“。

本章总结

数字波束形成（DBF）

均匀线阵：N个等间距阵元，方向图由阵列因子决定
波束指向：通过相位加权将波束指向特定方向
常规波束形成：权向量等于导向矢量
自适应波束形成（MVDR）：自动在干扰方向形成零陷
核心公式：
- 导向矢量：$\mathbf{a}_s(\theta) = [1, e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}, \ldots, e^{j(N-1)\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta}]^T$
- 波束形成输出：$y = \mathbf{w}^H \cdot \mathbf{x}$
- MVDR权值：$\mathbf{w} = \frac{\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s}{\mathbf{a}_s^H \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s}$

空时自适应处理（STAP）

为什么需要：一维滤波无法处理空变杂波和干扰
杂波脊：杂波在角度-多普勒平面沿斜线分布
最优STAP：$NM$ 维权向量，$R^{-1}s/(s^H R^{-1}s)$
降维STAP：解决计算量和样本需求的工程折中
核心公式：
- 空时导向矢量：$\mathbf{s} = \mathbf{s}_t(f_d) \otimes \mathbf{s}_s(\theta)$
- 最优权值：$\mathbf{w}_{\text{opt}} = \frac{\mathbf{R}^{-1} \mathbf{s}}{\mathbf{s}^H \mathbf{R}^{-1} \mathbf{s}}$

典型应用场景

场景	推荐方案	原因
通信基站	DBF	只有空间干扰，无杂波
地基雷达	DBF（加MTI）	杂波静止，一维滤波足够
机载预警雷达	STAP	强杂波且空时耦合
星载雷达	降维STAP	计算资源受限
被动雷达	DBF	无发射信号，无自身杂波

记忆要点

DBF = 空域滤波 = “在哪听”
MTI/MTD = 时域滤波 = “听多快”
STAP = 空时联合 = “在哪听 + 听多快” 同时做

本章计算练习题

题1：波束指向角

一个 8 元均匀线阵，阵元间距 $d = \lambda/2$，载频 $f_c = 3\ \text{GHz}$。若要波束指向 $\theta_0 = 30^\circ$，求各阵元的相位加权值。

点击查看解答

波长：$\lambda = c/f_c = 0.1\ \text{m}$，$d = 0.05\ \text{m}$。

相邻阵元间的相位差：
$$\Delta\phi = \frac{2\pi d}{\lambda} \sin\theta_0 = \frac{2\pi \times 0.05}{0.1} \times \sin 30^\circ = \pi \times 0.5 = \frac{\pi}{2}$$

各阵元的相位加权值（以第一个阵元为参考）：
$$\phi_n = (n-1) \cdot \Delta\phi = (n-1) \cdot \frac{\pi}{2}$$

即：

阵元 $n$	1	2	3	4	5	6	7	8
相位 $\phi_n$	$0$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$0$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$

题2：半功率波束宽度

一个 16 元均匀线阵，$d = \lambda/2$，波束指向法线方向（$\theta_0 = 0^\circ$）。求半功率波束宽度（HPBW）。

点击查看解答

均匀线阵法线方向的 HPBW 近似公式：
$$\text{HPBW} \approx \frac{0.886\lambda}{Nd\cos\theta_0} = \frac{0.886 \times \lambda}{16 \times (\lambda/2) \times 1}$$

$$\text{HPBW} \approx \frac{0.886}{8} \approx 0.111\ \text{rad} \approx 6.36^\circ$$

如果波束扫描到 $\theta_0 = 60^\circ$，则 HPBW 展宽：
$$\text{HPBW}_{\text{scan}} \approx \frac{\text{HPBW}}{\cos\theta_0} = \frac{6.36^\circ}{\cos 60^\circ} = 12.72^\circ$$

结论：波束扫描时，偏离法线越远波束越宽。

题3：栅瓣条件

均匀线阵，阵元间距 $d = \lambda$，波束指向法线方向。问：是否存在栅瓣？如果存在，出现在什么角度？

点击查看解答

栅瓣出现条件：$d \ge \lambda$ 时可能产生栅瓣。

栅瓣出现在满足 $\frac{2\pi d}{\lambda}(\sin\theta - \sin\theta_0) = 2\pi m$ 的角度。

当 $\theta_0 = 0^\circ$，$d = \lambda$ 时：
$$\frac{2\pi \lambda}{\lambda} \sin\theta = 2\pi m$$
$$\sin\theta = m$$

$m = 0$：$\theta = 0^\circ$（主瓣）
$m = 1$：$\sin\theta = 1$，$\theta = 90^\circ$（栅瓣）
$m = -1$：$\sin\theta = -1$，$\theta = -90^\circ$（栅瓣）

结论：$d = \lambda$ 时在 $\pm 90^\circ$ 出现栅瓣。为避免栅瓣，阵元间距应满足 $d \le \lambda/2$。

题4：MVDR 自适应零陷

一个 4 元均匀线阵，$d = \lambda/2$。期望信号来自 $0^\circ$，干扰来自 $30^\circ$。已知干扰加噪声协方差矩阵 $\mathbf{R}$ 的逆为：
$$\mathbf{R}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0.5 & 0 & 0 \ 0.5 & 2 & 0.5 & 0 \ 0 & 0.5 & 2 & 0.5 \ 0 & 0 & 0.5 & 2 \end{bmatrix}$$

求 MVDR 权向量。

点击查看解答

期望信号方向的导向矢量（$\theta_0 = 0^\circ$）：
$$\mathbf{a}_s(\theta_0) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T$$

MVDR 权向量公式：
$$\mathbf{w} = \frac{\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s}{\mathbf{a}_s^H \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s}$$

计算分子 $\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s$：
$$\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s = \begin{bmatrix} 2 & 0.5 & 0 & 0 \ 0.5 & 2 & 0.5 & 0 \ 0 & 0.5 & 2 & 0.5 \ 0 & 0 & 0.5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.5 \ 3.0 \ 3.0 \ 2.5 \end{bmatrix}$$

计算分母：
$$\mathbf{a}_s^H \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_s = 2.5 + 3.0 + 3.0 + 2.5 = 11.0$$

MVDR 权向量：
$$\mathbf{w} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2.5 \ 3.0 \ 3.0 \ 2.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.227 \ 0.273 \ 0.273 \ 0.227 \end{bmatrix}$$

这个权向量会在 $30^\circ$ 方向自动形成零陷，同时保持对 $0^\circ$ 方向的无失真响应。

第10章代表性雷达介绍

本章内容

10.1 相控阵雷达
10.2 合成孔径雷达（SAR）
10.3 双/多基地雷达
10.4 汽车雷达（补充介绍）

10.1 相控阵雷达

10.1.1 从”转天线”到”电扫描”

生活例子： 传统雷达像你家客厅里的风扇——摇头晃脑地扫过整个房间，看到哪儿，扇到哪儿。但有没有想过：如果能把几百个小风扇排成一排，通过控制每个风扇的开关和风向，就能”不动声色”地让风吹向任何方向？

这就是相控阵雷达的核心理念——天线不动，波束动。

传统机械扫描雷达：

天线转动 → 波束跟着转
   ↓
  ╭──╮
  │  │ →→→ 波束指向右边
  ╰──╯
  
  ╭──╮
  │  │ ←←← 波束指向左边
  ╰──╯
  
需要转台，速度慢，机械故障多

相控阵电扫描雷达：

天线固定，波束电子控制
  ╔══╗
  ║  ║ →→→ 波束指向右边（相位控制）
  ║  ║ ←←← 波束指向左边（相位控制）
  ╚══╝
  
无机械运动，毫秒级切换，可靠性高

相控阵的三个核心优势

优势	解释	军事意义
快速扫描	微秒级改变波束方向	同时跟踪数百目标
多波束	同时产生多个不同指向的波束	搜索+跟踪同时进行
低可观测性	波束形状灵活控制	降低被截获概率

雷达实例： 美国的”萨德”（THAAD）反导系统使用的就是相控阵雷达，能在极短时间内搜索大面积空域，同时跟踪多个来袭导弹。

10.1.2 电扫描原理

相位控制的基本公式

回忆第9章学过的内容，相控阵的波束指向由阵元间的相位差决定：

$$
\phi = \frac{2\pi d}{\lambda} \cdot \sin\theta_0
$$

其中：

符号	含义	单位
$\phi$	相邻阵元间的相位差	弧度
$d$	阵元间距	米
$\lambda$	信号波长	米
$\theta_0$	期望的波束指向角	弧度

每个阵元需要补偿的相位：

$$
\Phi_n = n \cdot \phi = n \cdot \frac{2\pi d}{\lambda} \cdot \sin\theta_0
$$

直观理解： 想让波束指向 $\theta_0$ 方向，就在第 $n$ 个阵元上增加 $\Phi_n$ 的相位延迟。就像排队时，你想让队伍指向某个方向，就让每个人依次延迟半步——越靠后的人延迟越多。

阵列因子

N个阵元的归一化方向图：

$$
F(\theta) = \frac{\sin\left[N \cdot \frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)\right]}{N \cdot \sin\left[\frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)\right]}
$$

主瓣宽度（3dB波束宽度）：

$$
\theta_{3\text{dB}} \approx \frac{0.886\lambda}{Nd \cdot \cos\theta_0}
$$

可见：

阵元越多（N越大），波束越窄（分辨率越高）
扫描角度越大（$\theta_0$越大），波束越宽（性能下降）

方向图乘积定理

相控阵的完整方向图 = 阵元方向图 x 阵列因子：

$$
F_{\text{total}}(\theta) = F_e(\theta) \cdot F_a(\theta)
$$

项	含义	特性
$F_e(\theta)$	单个阵元的方向图	宽的，覆盖大角度
$F_a(\theta)$	阵列因子（N个阵元的干涉）	窄的，决定波束形状
$F_{\text{total}}$	最终方向图	窄波束，受阵元方向图调制

直观理解： 每个阵元像一个小手电筒（宽光束），N个手电筒排在一起，通过相干干涉形成一束很窄的激光（窄波束）。但最终的波束不能超出单个手电筒的照亮范围。

栅瓣问题

当 $d > \lambda/2$ 时，会出现栅瓣——在非期望方向上也形成强波束。

栅瓣条件：

$$
\frac{d}{\lambda} > \frac{1}{1 + |\sin\theta_{\max}|}
$$

其中 $\theta_{\max}$ 是最大扫描角。

直观理解： 栅瓣就像你在栅栏的空隙中看东西——当缝隙太大时，你会看到多个”重影”。在雷达中，栅瓣会导致方向模糊，把不同方向的目标混淆。

实际设计： 大多数相控阵的阵元间距取 $d = \lambda/2$，在保证无栅瓣的前提下最大化分辨率。

波束展宽

当波束扫描到 $\theta$ 方向时，波束宽度会展宽：

$$
\theta_{3\text{dB}}(\theta) = \frac{\theta_{3\text{dB}}(0)}{\cos\theta}
$$

直观理解： 波束指向正前方时最窄（分辨率最高），指向侧面时变宽（分辨率下降）。所以相控阵的有效扫描范围通常在 $\pm 60^\circ$ 以内。

10.1.3 有源相控阵 vs 无源相控阵

无源相控阵（Passive ESA）

  一个中央发射机
       ↓
  功率分配器
  ↓   ↓   ↓   ↓
移相器 移相器 移相器 移相器
  ↓   ↓   ↓   ↓
天线  天线  天线  天线

特点：

只有一个中央大功率发射机
通过移相器控制波束
发射和接收共用天线

有源相控阵（Active ESA / AESA）

 天线1   天线2   天线3   天线4
   ↓      ↓      ↓      ↓
 T/R模块 T/R模块 T/R模块 T/R模块
(含功放) (含功放) (含功放) (含功放)
   ↓      ↓      ↓      ↓
 移相器  移相器  移相器  移相器
   ↓      ↓      ↓      ↓
   数字波束形成网络

每个T/R模块包含：

功率放大器（发射）
低噪声放大器（接收）
移相器
衰减器
环形器/开关

对比

特性	无源相控阵	有源相控阵
发射机数量	1个（大功率）	N个（小功率）
可靠性	中央功放故障=全系统失效	逐步退化（graceful degradation）
功耗效率	低（馈线损耗大）	高（功放靠近天线）
成本	较低	较高（大量T/R模块）
代表系统	爱国者PAC-3雷达	F-22的AN/APG-77, F-35的AN/APG-81

直观理解：

无源相控阵 = 一个大力士通过复杂的绳索系统拉动所有天线
有源相控阵 = 每个天线都有自己的小马达，协调一致地工作

可靠性的比喻： 无源就像灯泡串联——一个坏了全都不亮；有源就像灯泡并联——坏几个不影响其他，只是整体亮度略降。这叫逐步退化（graceful degradation），是AESA最重要的优势之一。

10.1.4 T/R模块

T/R模块是AESA的核心

每个T/R模块本质上是一个微型收发信机：

天线 ←→ [环形器] ←→ [LNA] → Rx通道
          ↓
       [功放] ← Tx通道
          ↓
       [移相器] ← 控制信号
          ↓
       [衰减器] ← 幅度控制

功能：

发射时：放大信号，控制相位和幅度
接收时：低噪声放大，控制相位和幅度

关键指标

指标	典型值	意义
发射功率	5~10W（GaN可达50W+）	每通道功率
噪声系数	2~4 dB	接收灵敏度
相位分辨率	5~6 bit	波束指向精度
幅度控制	6 bit	低副瓣控制
效率	30~50%	功耗和散热

雷达实例： F-22的AN/APG-79雷达有约1200个T/R模块，F-35的AN/APG-81有约1200个，每个模块约10W。即使20%的模块损坏，雷达仍能正常工作。

10.1.5 相控阵的应用

应用	代表系统	特点
机载火控	F-22 AN/APG-77	低截获概率，多目标
舰载防空	宙斯盾 SPY-1	360度覆盖，远程
弹道导弹防御	萨德 THAAD	极高灵敏度
预警探测	PAVE PAWS	巨型固定阵面
气象雷达	中国的S波段相控阵	快速三维扫描

10.2 合成孔径雷达（SAR）

10.2.1 从”大天线”到”小天线飞着用”

生活例子： 你要拍一张清晰的全景照片。如果你用手机拍，拍到的人像很小。但如果你把手机绑在无人机上，让无人机飞过整个场景，然后把所有拍到的照片拼在一起，就能得到一张超高清全景图。

这就是SAR的原理——用运动合成大的”虚拟孔径”。

核心矛盾：

高分辨率需要大天线（孔径大）
但飞机上放不了超大天线

SAR的解决方案： 用小天线在飞机上，飞机飞过时”沿途”记录信号，然后在地面处理中合成一个大孔径。

天线孔径与分辨率的关系

真实孔径雷达的分辨率：

$$
\rho_a = \frac{\lambda R}{D}
$$

其中：

符号	含义	单位
$\rho_a$	方位分辨率	米
$\lambda$	波长	米
$R$	距离	米
$D$	天线实际孔径	米

例子： $\lambda = 0.03$ m（X波段），$R = 10$ km，$D = 1$ m：
$$
\rho_a = \frac{0.03 \times 10000}{1} = 300 \text{ m}
$$

300米的分辨率！两个相距200米的坦克，在雷达图像上就是一个点——完全分不出来。

SAR的方位分辨率：

$$
\rho_a^{\text{SAR}} = \frac{D}{2}
$$

这是一个神奇的结果！ SAR的分辨率与距离无关，只和天线实际尺寸有关！

直观理解： 在SAR中，合成的”虚拟孔径”长度 $L_s = \frac{\lambda R}{D}$，由此得到的角分辨率 $\theta \approx \frac{\lambda}{2L_s} = \frac{D}{2R}$，再乘以距离 $R$，得到 $\rho_a = D/2$。

虽然原理上有点绕，但结论非常简单：天线越小，SAR分辨率越高（因为小天线能形成更宽的波束，合成的孔径更长）。

10.2.2 SAR的工作原理

数据采集

飞机沿直线飞行，雷达以脉冲重复频率（PRF）向侧面发射脉冲：

飞行方向 → 
 飞机*
    \
     \ 波束覆盖
      \_________
       |        |  地面
       | 目标  |

关键概念：合成孔径时间

目标暴露在波束内的时间：

$$
T_s = \frac{L_s}{v} = \frac{\lambda R}{D \cdot v}
$$

其中： $v$ 是载机速度。

在这段时间内，雷达持续接收来自目标的回波，每个脉冲都记录了目标在不同位置处的信息。

多普勒历程

当飞机飞过目标时，目标的多普勒频率随时间线性变化：

飞机接近目标时：$f_d$ 为正（频率升高）
飞机略过目标正侧方时：$f_d = 0$
飞机远离目标时：$f_d$ 为负（频率降低）

fd
 ↑
 │  目标点1
 │  /‾‾‾‾‾‾‾‾\
 │ /  目标点2  \
 │/    /‾\      \
 │    /    \      \
 │   /      \      \
 │  /        \      \
 │ /          \      \
 └────────────────────────→ t
 接近          远离

这个频率变化（线性调频特性） 正是SAR实现高分辨的关键——通过匹配滤波处理，可以压缩出高分辨率的方位像。

距离分辨率

SAR的距离分辨率（与普通雷达相同）：

$$
\rho_r = \frac{c}{2B}
$$

其中： $B$ 是发射信号带宽。

要提高距离分辨率，需要更大的带宽。现代SAR使用线性调频信号（LFM），带宽可达数百MHz，距离分辨率可达亚米级。

10.2.3 SAR成像算法

SAR成像需要将原始回波数据处理为图像。主要有两种经典算法：

距离-多普勒算法（R-D算法）

最经典的SAR成像算法，分两步处理：

距离压缩：对每个脉冲做匹配滤波（压缩到高分辨率）
方位压缩：在距离-多普勒域做匹配滤波

1	`原始数据 → 距离压缩 → RCMC(距离徙动校正) → 方位压缩 → SAR图像`

距离徙动（RCM）： 目标在合成孔径时间内，与雷达的斜距会变化，导致目标的回波”跨越”多个距离门。R-D算法通过插值校正这个效应。

Chirp Scaling算法（C-S算法）

更先进的算法，不需要插值，效率更高：

1	`原始数据 → Chirp Scaling → 距离压缩 → 相位校正 → 方位压缩 → SAR图像`

10.2.4 SAR的应用

应用	典型平台	分辨率	用途
军事侦察	无人机/卫星	0.1~1 m	目标识别
地形测绘	飞机/卫星	5~30 m	制作DEM
灾害监测	卫星	1~10 m	洪水/地震评估
海洋监测	卫星	10~100 m	海冰/船舶监测
考古	飞机	0.5~2 m	地下遗迹探测

雷达实例：

TerraSAR-X 德国卫星SAR，分辨率高达1米
高分三号 中国卫星SAR，分辨率1米
Capella Space 商业SAR星座，分辨率0.5米

10.2.5 SAR的优势与局限

优势：

全天候（不受云雨影响）
全天时（白天黑夜都能工作）
高分辨率（理论上可达亚米级）
大面积覆盖

局限：

数据处理量大（需要高性能计算）
运动补偿要求高（飞机抖动影响成像质量）
几何畸变（透视收缩、叠掩、阴影）
难以识别（需要和光学图像配合解释）

10.3 双/多基地雷达

10.3.1 从”单人唱戏”到”多人配合”

生活例子： 传统雷达像一个人在山谷里大喊，然后听回声——发射和接收都在同一个地方。而双基地雷达像两个人配合——一个人在山顶喊，另一个人在山谷另一侧听。

传统单基地雷达：

1
2
3

发射机 ←→ [天线] ←→ 目标 → [天线] ←→ [接收机]
            ↑                    ↑
        同一个天线/位置      分时工作

双基地雷达：

1
2
3

发射机 → [TX天线] ——→ 目标
                        ↓
接收机 ← [RX天线] ←——— 目标

多基地雷达：

TX1  TX2  TX3
 ↓    ↓    ↓
 ←——目标——→
 ↑    ↑    ↑
RX1  RX2  RX3

10.3.2 双基地雷达的工作原理

基本配置：

发射站：在位置A，发射信号
接收站：在位置B，接收信号（和目标无关）
基线：发射站和接收站之间的连线

定位原理：

双基地雷达利用到达时间（TOA） 和到达方向（DOA） 联合定位目标。

信号从发射站到目标再到接收站的总传播时间决定了距离和（$R_T + R_R$）：

$$
R_T + R_R = c \cdot \tau
$$

其中： $\tau$ 是信号从发射到接收的时延，$c$ 是光速。

在知道 $R_T + R_R$ 和基线长度 $L$ 的情况下，目标位置被确定在一个椭圆上：

       目标
       *
     /     \
    /       \
TX *—————————* RX
  <--- L --->

通过多个接收站或多个发射站，多个椭圆的交点就是目标位置。

10.3.3 双基地雷达的几何构型

构型	示意图	特点
发射站-接收站分开	TX — * — RX	最基本的双基地
多发射站	TX1, TX2, TX3 — * — RX	多视角探测
多接收站	TX — * — RX1, RX2, RX3	定位精度高
网状	多个TX和多个RX	覆盖范围最大

10.3.4 双基地雷达的方程

双基地雷达方程：

$$
P_R = \frac{P_T G_T G_R \lambda^2 \sigma_b}{(4\pi)^3 R_T^2 R_R^2 L}
$$

符号解释：

符号	含义
$P_R$	接收功率
$P_T$	发射功率
$G_T, G_R$	发射/接收天线增益
$\lambda$	波长
$\sigma_b$	双基地RCS（雷达截面积）
$R_T, R_R$	发射/接收到目标的距离
$L$	系统损耗

和单基地的区别： 分母是 $R_T^2 \cdot R_R^2$ 而不是 $R^4$。当 $R_T = R_R$ 时，和单基地一样。

10.3.5 双/多基地雷达的优势

抗干扰能力强
- 接收站可以静默工作，敌方难以发现
- 即使发射站被干扰，接收站仍可能接收信号
抗隐身
- 隐身飞机主要优化了正前方的RCS（单基地方向）
- 从侧面或上方来的信号，RCS可能大数百倍
反辐射导弹防御
- 接收站不发射信号，不会被反辐射导弹攻击
- 发射站可以远离战场
探测低空目标
- 多视角可以克服地球曲率的遮挡
利用机会照射源
- 可以使用广播、电视、通信信号作为发射源
- 这就是无源雷达的概念

10.3.6 无源雷达（PCL）

定义： 使用第三方发射源（机会照射源）的被动雷达系统。

常见的机会照射源：

信号源	频率	带宽	特点
FM广播	88~108 MHz	窄	覆盖广
数字电视	470~862 MHz	宽(8MHz)	分辨率高
4G/5G基站	700~3500 MHz	宽	分辨率高
卫星信号	GPS/DVB-S	窄	全球覆盖

经典案例：

Daventry Experiment（1935年）： 世界上第一个雷达实验！Watson-Watt使用BBC广播电台的短波信号，探测到了约12公里外的飞机。这实际上就是最早的双基地/无源雷达实验。

Klein Heidelberg（二战时期）： 德军使用的无源雷达系统，利用英国Chain Home雷达的信号作为照射源，探测来袭的盟军飞机。

现代无源雷达系统：

机会照射源(如广播塔)
    ↓
    ←——— 目标反射
    ↓
[被动接收站] ← 处理 → 检测 → 跟踪

10.3.7 双/多基地雷达的挑战

挑战	描述	解决方案
时间同步	发射站和接收站需要精确同步	GPS授时，原子钟
相位同步	相干处理需要相位同步	直达波参考，锁相环
空间同步	接收波束需要指向目标	宽波束或多波束
动态范围	直达波比目标回波强得多	直达波对消
几何精度	定位精度受几何构型影响	多站优化布置

10.4 汽车雷达（补充介绍）

10.4.1 从”军用”到”民用”

雷达不仅在军事上大显身手，也走进了我们的日常生活——特别是汽车雷达，它是自动驾驶的核心传感器之一。

工作频段： 24 GHz / 77 GHz（毫米波）

为什么用毫米波？

频率高 → 波长小 → 天线小 → 容易集成
带宽大 → 分辨率高
穿透性好（比激光雷达好，不受雨雾影响）

10.4.2 汽车雷达的工作原理

主流体制：FMCW（调频连续波）

FMCW雷达不发射脉冲，而是发射频率连续变化的信号：

频率
↑
f0+W ────────\
|             \
|              \
f0 ─────────────\───→ 时间
|   T(周期)     |

发射信号： 频率从 $f_0$ 线性增加到 $f_0 + W$，周期为 $T$

测距原理：

发射信号和接收信号混频后得到差频 $f_b$：

$$
f_b = \frac{W}{T} \cdot \frac{2R}{c}
$$

所以距离：

$$
R = \frac{c \cdot T \cdot f_b}{2W}
$$

符号解释：

符号	含义	单位
$f_b$	差频（发射和接收的频率差）	Hz
$W$	调制带宽	Hz
$T$	调制周期	s
$R$	目标距离	m
$c$	光速	m/s

测速原理：
利用多个周期的相位差测量速度（和普通脉冲雷达的多普勒测速相同）。

10.4.3 典型汽车雷达芯片

TI（德州仪器）AWR1642：

频率：76~81 GHz（4 GHz带宽）
发射功率：12.5 dBm
噪声系数：14 dB（76-77 GHz）/ 15 dB（77-81 GHz）
相位噪声：-95 dBc/Hz @ 1MHz
单片集成：包含3个发射通道、4个接收通道、DSP处理

功能：

自适应巡航控制（ACC）
自动紧急制动（AEB）
盲点检测（BSD）
变道辅助（LCA）

10.4.4 汽车雷达 vs 传统雷达

特性	传统军事雷达	汽车雷达
频率	L~X波段	77 GHz毫米波
探测距离	数百公里	几十到几百米
成本	数百万~数亿	几十~几百元
体积	庞大	手掌大小
处理能力	专用处理	单芯片集成

雷达的平民化： 几十年前，雷达是只有军方才用得起的”黑科技”。今天，你的车里可能有5~10个雷达——前向、后向、侧向、角雷达——它们保护着你的安全，而你甚至感觉不到它们的存在。

本章总结

三大雷达体制

相控阵雷达

原理：通过相位控制实现电扫描
核心优势：快速、灵活、多波束
分类：有源（AESA）vs 无源（PESA）
核心公式：$\phi = \frac{2\pi d}{\lambda} \sin\theta_0$
代表应用：F-35雷达、宙斯盾系统

合成孔径雷达（SAR）

原理：用平台运动合成虚拟大孔径
核心优势：全天候高分辨率成像
核心结论：方位分辨率 $\rho_a = D/2$（与距离无关！）
经典算法：R-D算法、C-S算法
代表应用：TerraSAR-X、高分三号

双/多基地雷达

原理：收发分置
核心优势：抗干扰、抗隐身、抗反辐射导弹
变种：无源雷达（利用机会照射源）
核心公式：双基地雷达方程
历史意义：Daventry实验（1935年）——雷达的起源

三类雷达的对比

特征	相控阵	SAR	双/多基地
天线	固定阵列	小天线+运动合成	分置
扫描方式	电扫	平台运动	空间分集
主要功能	搜索/跟踪	高分辨成像	反隐身/抗干扰
复杂度	高（T/R模块）	中（信号处理）	高（同步）

记忆要点

相控阵 = “不动天线动波束”（电扫）
SAR = “小天线飞成大孔径”（合成）
双基地 = “发和收分开”（分置）
FMCW = “频率一直变，距离差频算”（汽车雷达）

从军用走向民用，雷达技术正在改变我们的世界。从预警卫星上的巨型相控阵，到手机里即将集成的微型毫米波雷达——雷达的未来，才刚刚开始。

本章计算练习题

题1：相控阵相位计算

一部有源相控阵雷达工作频率 $f_c = 10\ \text{GHz}$，阵元间距 $d = 1.5\ \text{cm}$。要使波束指向 $\theta_0 = 45^\circ$，求相邻阵元间的相位差。

点击查看解答

波长：$\lambda = \frac{c}{f_c} = \frac{3 \times 10^8}{10^{10}} = 0.03\ \text{m} = 3\ \text{cm}$

相邻阵元相位差：
$$\Delta\phi = \frac{2\pi d}{\lambda} \sin\theta_0 = \frac{2\pi \times 1.5}{3} \times \sin 45^\circ$$

$$\Delta\phi = \pi \times 0.707 = 2.22\ \text{rad} \approx 127.3^\circ$$

$d = 1.5\ \text{cm} = \lambda/2$，满足 $d \le \lambda/2$ 条件，不会产生栅瓣。

题2：SAR 方位分辨率

星载 SAR 的天线长度 $D = 10\ \text{m}$，轨道高度 $H = 600\ \text{km}$，工作频率 $f_c = 5\ \text{GHz}$。求：(1) SAR 的方位分辨率 $\rho_a$；(2) 如果改用真实孔径雷达，需要多大的天线才能达到同样的分辨率？

点击查看解答

(1) SAR 方位分辨率（与距离无关！）：
$$\rho_a = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5\ \text{m}$$

(2) 真实孔径雷达的方位分辨率：
$$\rho_{\text{RAR}} = \frac{\lambda R}{D}$$

波长：$\lambda = \frac{c}{f_c} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^9} = 0.06\ \text{m}$

距离：$R = H = 600\ \text{km} = 6 \times 10^5\ \text{m}$

要达到 $\rho_{\text{RAR}} = 5\ \text{m}$：
$$D = \frac{\lambda R}{\rho_{\text{RAR}}} = \frac{0.06 \times 6 \times 10^5}{5} = 7200\ \text{m}$$

需要 7.2 km 长的天线！这在实际中完全不可能。这就是 SAR 的伟大之处——用小天线合成虚拟大孔径。

题3：SAR 合成孔径长度

题2中的 SAR 卫星飞行速度 $v_s = 7500\ \text{m/s}$，合成孔径时间为多少？合成孔径长度为多少？

点击查看解答

SAR 的合成孔径长度等于真实波束在地面的覆盖长度。真实波束宽度：
$$\theta_{\text{beam}} \approx \frac{\lambda}{D} = \frac{0.06}{10} = 0.006\ \text{rad}$$

地面覆盖宽度（方位向）：
$$L_s = \theta_{\text{beam}} \cdot R = 0.006 \times 6 \times 10^5 = 3600\ \text{m}$$

合成孔径时间：
$$T_s = \frac{L_s}{v_s} = \frac{3600}{7500} = 0.48\ \text{s}$$

0.48 秒内采集了 3.6 km 路径上的回波数据，合成等效孔径为 $2 \times 3.6 = 7.2\ \text{km}$。

题4：双基地雷达方程推导

双基地雷达中，发射站到目标的距离为 $R_T$，目标到接收站的距离为 $R_R$。发射功率 $P_t$，发射增益 $G_t$，接收增益 $G_r$，目标 RCS $\sigma_b$，系统损耗 $L$。推导双基地雷达接收功率公式。

点击查看解答

步骤1：目标处功率密度
$$S_1 = \frac{P_t G_t}{4\pi R_T^2}$$

步骤2：目标散射功率
$$P_{\text{scat}} = S_1 \cdot \sigma_b = \frac{P_t G_t \sigma_b}{4\pi R_T^2}$$

步骤3：接收天线处功率密度
$$S_2 = \frac{P_{\text{scat}}}{4\pi R_R^2} = \frac{P_t G_t \sigma_b}{(4\pi)^2 R_T^2 R_R^2}$$

步骤4：接收天线接收功率（$A_e = \frac{G_r \lambda^2}{4\pi}$）：
$$P_r = S_2 A_e = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma_b}{(4\pi)^3 R_T^2 R_R^2 L}$$

对比单基地雷达方程（$R_T = R_R = R$，$R_T^2 R_R^2 = R^4$）：
$$P_r = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 L}$$

双基地雷达的探测距离由 $R_T \cdot R_R$ 的乘积决定。

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雷达信号处理：从零开始学习指南

http://example.com/posts/2026/07/06/radar-signal-processing-guide/

作者

ZHW

发布于

2026年7月6日

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雷达信号处理

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第1章 雷达系统导论

1.1 什么是雷达

1.1.1 从蝙蝠说起

1.1.2 RADAR 这个名字怎么来的？

1.1.3 雷达能做什么？

1.1.4 生活中的雷达

1.2 雷达发展史

1.2.1 电磁波的发现（前提条件）

1.2.2 雷达的”史前时期”（1904-1934）

1.2.3 真正的雷达诞生：Chain Home（1935-1939）

1.2.4 二战期间的大发展（1939-1945）

1.2.5 战后到现代（1950年代至今）

1.2.6 中国雷达发展简史

1.3 雷达基本原理

1.3.1 测距（Ranging）—— 雷达最基础的能力

1.3.2 测速（Doppler效应）—— 运动目标的信息提取

1.3.3 测角 —— 目标在哪里？

1.3.4 RCS（雷达散射截面积）—— 目标”显眼”程度

1.3.5 雷达方程 —— 一切设计的起点

1.4 雷达系统组成

1.4.1 发射机（Transmitter）—— 雷达的”嗓子”

1.4.2 收发开关（Duplexer/T/R Switch）

1.4.3 天线（Antenna）—— 雷达的”眼睛”

1.4.4 接收机（Receiver）—— 雷达的”耳朵”

1.4.5 信号处理机（Signal Processor）—— 雷达的”大脑”

1.4.6 显示器/控制台（Display & Control）

1.5 雷达分类

1.5.1 按工作波段分类

1.5.2 按用途分类

1.5.3 按发射波形分类

1.5.4 按天线扫描方式分类

本章总结

核心要点

重要公式速查

本章计算练习题

题1：雷达测距

题2：最大不模糊距离

题3：占空比与平均功率

题4：多普勒频移

第2章 信号处理相关理论

2.1 离散信号与系统

2.1.1 连续信号 vs. 离散信号

2.1.2 连续到离散：采样过程

2.1.3 线性时不变系统（LTI系统）

2.1.4 差分方程描述

2.2 采样定理

2.2.1 生活类比——拍电影

2.2.2 Nyquist采样定理（低通采样）

2.2.3 雷达中的采样——一个实际例子

2.2.4 带通采样（Bandpass Sampling）

2.2.5 I/Q采样（正交采样）

2.3 DFT与FFT

2.3.1 为什么要从时域看到频域？

2.3.2 四种傅里叶变换的演进

2.3.3 DFT的定义

2.3.4 简化写法：旋转因子

2.3.5 DFT的计算量问题（为什么需要FFT）

2.3.6 FFT——Cooley-Tukey算法

2.3.7 蝶形运算（Butterfly Operation）

2.3.8 频率分辨率

2.3.9 窗函数（Windowing）

2.4 数字滤波器

2.4.1 什么是数字滤波器？

2.4.2 FIR滤波器（有限冲激响应滤波器）

2.4.3 数字下变频（DDC）

2.4.4 CIC滤波器（Cascaded Integrator-Comb）

2.4.5 HB滤波器（Half-Band滤波器）

2.4.6 多级降采样为何更高效？

2.4.7 完整DDC处理链

本章总结

核心要点

关键公式速查

推荐思考题

本章计算练习题

题1：Nyquist 采样率

从零开始完整学习指南

第1章雷达系统导论

第2章信号处理相关理论

第3章脉冲雷达数据采集

第4章雷达系统信号模型